Exercício 1.9 - Um freio de cinta foi projetado para absorver um torque de 85 Nm . Supondo um coeficiente de atrito de 0,25 e uma pressão admissível de
, para o material da cinta, determinar o esforço máximo na cinta e o ângulo de
सितु का विon UFPR
contato necessário para a transmissão do torque proposto. A cinta tem uma largura de 50 mm e o raio do tambor vale 150 mm .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: o esforço máximo na cinta (ou seja, a maior tensão na cinta) e o ângulo de contato necessário para que a cinta transmita o torque proposto. As informações dadas são:
- Torque a ser transmitido:
. - Coeficiente de atrito:
. - Pressão admissível do material da cinta:
. - Largura da cinta:
. - Raio do tambor:
.
Passo 2
Vamos entender as relações físicas que precisamos usar — explicando cada variável e a ideia por trás delas.
- A transmissão de torque por uma cinta ocorre porque existe diferença entre a tensão do lado mais frouxo
e a tensão do lado mais apertado . O torque transmitido é dado por
onde
é o torque,
e
são tensões (forças) nas extremidades da cinta e
é o raio do tambor.
- A lei do atrito (modelo do capstan) relaciona as tensões por meio do coeficiente de atrito e do ângulo de contato
:
Aqui
é o coeficiente de atrito e
é o ângulo de contato em radianos. Isso vem do equilíbrio diferencial de forças numa pequena parcela da cinta: a variação de tensão é proporcional à tensão local vezes
, integrando-se obtém-se a exponencial.
- A pressão admissível limita a soma das tensões, porque a pressão média de contato entre cinta e tambor pode ser aproximada por
Essa fórmula significa: a força normal resultante (por unidade de comprimento axial) que o tambor exerce sobre a cinta é proporcional à soma das projeções radiais das tensões; assumindo pressão uniforme sobre a faixa de contato e distribuição axial homogênea, obtém-se a relação acima. Como a pressão não pode exceder
, temos a condição
Resumo das incógnitas e equações:
- incógnitas:
. - equações:
Passo 3
Agora vamos manipular algebricamente as equações para isolar
primeiro. Defina
A partir de
temos
Usando
, obtemos
logo
A soma das tensões, usando
, deve igualar
:
Substituindo
obtemos
Rearranjando,
Defina
então
Resolvendo para
:
Uma vez que
é conhecido, obtemos o ângulo de contato por
Passo 4
Agora vamos colocar os valores numéricos e calcular passo a passo. Primeiro calcule
. Use unidades SI:
Calcule
:
Calcule internamente:
. Então
Multiplicando por 2 e dividindo por
:
Passo 5
Com
, calcule
:
Agora o ângulo de contato
:
Calcule o logaritmo:
. Então
Converta para graus (se preferir):
Passo 6
Agora calcule as tensões
e
. Lembrando
Compute
:
Então
E
Passo 7
Verificação rápida da condição de pressão: calcule
e compare com
.
E
A pequena diferença é por arredondamentos; portanto estamos coerentes (usamos igualdade para otimizar uso da pressão admissível).