Exercício 1.9 - Um freio de cinta foi projetado para absorver um torque de 85 Nm . Supondo um coeficiente de atrito de 0,25 e uma pressão admissível de 0,345 \mathrm{MPa}, para o material da cinta, determinar o esforço máximo na cinta e o ângulo de

सितु का विon UFPR

contato necessário para a transmissão do torque proposto. A cinta tem uma largura de 50 mm e o raio do tambor vale 150 mm .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o esforço máximo na cinta (ou seja, a maior tensão na cinta) e o ângulo de contato necessário para que a cinta transmita o torque proposto. As informações dadas são:
  • Torque a ser transmitido: M = 85\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Coeficiente de atrito: \mu = 0,25.
  • Pressão admissível do material da cinta: p_\text{adm} = 0,345\\ \mathrm{MPa}.
  • Largura da cinta: b = 50\\ \mathrm{mm} = 0,05\\ \mathrm{m}.
  • Raio do tambor: r = 150\\ \mathrm{mm} = 0,15\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Vamos entender as relações físicas que precisamos usar — explicando cada variável e a ideia por trás delas.
  1. A transmissão de torque por uma cinta ocorre porque existe diferença entre a tensão do lado mais frouxo T_2 e a tensão do lado mais apertado T_1. O torque transmitido é dado por
M = (T_1 - T_2)\,r,
onde M é o torque, T_1 e T_2 são tensões (forças) nas extremidades da cinta e r é o raio do tambor.
  1. A lei do atrito (modelo do capstan) relaciona as tensões por meio do coeficiente de atrito e do ângulo de contato \theta:
\frac{T_1}{T_2} = e^{\mu \theta}.
Aqui \mu é o coeficiente de atrito e \theta é o ângulo de contato em radianos. Isso vem do equilíbrio diferencial de forças numa pequena parcela da cinta: a variação de tensão é proporcional à tensão local vezes \mu\,d\theta, integrando-se obtém-se a exponencial.
  1. A pressão admissível limita a soma das tensões, porque a pressão média de contato entre cinta e tambor pode ser aproximada por
p = \frac{T_1 + T_2}{2 b r}.
Essa fórmula significa: a força normal resultante (por unidade de comprimento axial) que o tambor exerce sobre a cinta é proporcional à soma das projeções radiais das tensões; assumindo pressão uniforme sobre a faixa de contato e distribuição axial homogênea, obtém-se a relação acima. Como a pressão não pode exceder p_\text{adm}, temos a condição
T_1 + T_2 \le 2\,p_\text{adm}\,b\,r.
Resumo das incógnitas e equações:
  • incógnitas: T_1,\;T_2,\;\theta.
  • equações:
M = (T_1 - T_2)\,r,
\frac{T_1}{T_2} = e^{\mu \theta},
T_1 + T_2 = 2\,p_\text{adm}\,b\,r \quad\text{(usamos igualdade para o caso de utilização máxima da pressão admissível).}çãáãí

Passo 3

Agora vamos manipular algebricamente as equações para isolar \theta primeiro. Defina
k \equiv e^{\mu\theta} = \frac{T_1}{T_2}.
A partir de M=(T_1-T_2)r temos
T_1 - T_2 = \frac{M}{r}.
Usando T_1 = k T_2, obtemos
k T_2 - T_2 = (k-1)T_2 = \frac{M}{r},
logo
T_2 = \frac{M/r}{k-1}.
A soma das tensões, usando T_1 + T_2 = T_2(k+1), deve igualar 2 p_\text{adm} b r:
T_2(k+1) = 2 p_\text{adm} b r.
Substituindo T_2 obtemos
\frac{M/r}{k-1}\,(k+1) = 2 p_\text{adm} b r.
Rearranjando,
\frac{k+1}{k-1} = \frac{2 p_\text{adm} b r^2}{M}.
Defina
A \equiv \frac{2 p_\text{adm} b r^2}{M},
então
\frac{k+1}{k-1} = A.
Resolvendo para k:
k+1 = A(k-1) \quad\Rightarrow\quad k(1-A) = - (A+1) \quad\Rightarrow\quad k = \frac{A+1}{A-1}.
Uma vez que k é conhecido, obtemos o ângulo de contato por
\theta = \frac{1}{\mu}\ln k.

Passo 4

Agora vamos colocar os valores numéricos e calcular passo a passo. Primeiro calcule A. Use unidades SI:
p_\text{adm} = 0,345\\ \mathrm{MPa} = 0,345\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},
b = 0,05\\ \mathrm{m},\qquad r = 0,15\\ \mathrm{m},\qquad M=85\\ \mathrm{N\cdot m}.
Calcule A:
A = \frac{2\,p_\text{adm}\,b\,r^{2}}{M} = \frac{2\cdot(0,345\times10^{6})\cdot 0,05\cdot (0,15)^{2}}{85}.
Calcule internamente: (0,15)^{2}=0,0225. Então
p_\text{adm}\,b\,r^{2} = 0,345\times10^{6}\cdot 0,05\cdot 0,0225 = 388,125.
Multiplicando por 2 e dividindo por M:
A = \frac{2\cdot 388,125}{85} = \frac{776,25}{85} \approx 9,138.

Passo 5

Com A\approx 9,138, calcule k:
k = \frac{A+1}{A-1} = \frac{9,138+1}{9,138-1} = \frac{10,138}{8,138} \approx 1,2456.
Agora o ângulo de contato \theta:
\theta = \frac{1}{\mu}\ln k = \frac{1}{0,25}\ln(1,2456) = 4\cdot\ln(1,2456).
Calcule o logaritmo: \ln(1,2456)\approx 0,2201. Então
\theta \approx 4\cdot 0,2201 = 0,8804\\ \text{rad}.
Converta para graus (se preferir):
\theta_\text{deg} = 0,8804\cdot\frac{180}{\pi}\approx 50,4^\circ.

Passo 6

Agora calcule as tensões T_2 e T_1. Lembrando
T_2 = \frac{M/r}{k-1},\qquad T_1 = k\,T_2.
Compute M/r:
\frac{M}{r} = \frac{85}{0,15} \approx 566,6667\\ \mathrm{N}.
Então
T_2 \approx \frac{566,6667}{1,2456-1} = \frac{566,6667}{0,2456} \approx 2306,9\\ \mathrm{N}.
E
T_1 = k\,T_2 \approx 1,2456\cdot 2306,9 \approx 2874,0\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Verificação rápida da condição de pressão: calcule T_1+T_2 e compare com 2 p_\text{adm} b r.
T_1+T_2 \approx 2874,0 + 2306,9 = 5180,9\\ \mathrm{N}.
E
2 p_\text{adm} b r = 2\cdot 0,345\times10^{6}\cdot 0,05\cdot 0,15 = 5175\\ \mathrm{N}.
A pequena diferença é por arredondamentos; portanto estamos coerentes (usamos igualdade para otimizar uso da pressão admissível).

Resposta

T_1 \approx 2874,0\\ \mathrm{N}
\theta \approx 0,8804\\ \mathrm{rad}\;(\approx 50,4^\circ)

Exercícios relacionados