Exercício 1.7 - Uma pinça de freio é necessária para as rodas dianteiras de um carro esporte com capacidade de frenagem de 820 Nm para cada freio. As estimativas preliminares do
projeto definiram a geometria do freio com raio interno de 100 mm , raio externo de 160 mm e \theta=45^{\circ}. Uma guarnição com coeficiente de atrito de 0,35 foi selecionado. Determine, segundo o critério do desgaste uniforme, a força de acionamento necessária e a pressão de contato máxima atuante.

Passo 1

O enunciado pede que, segundo o critério do desgaste uniforme, se determine:
  • A força de acionamento necessária (ou seja, a força normal aplicada pela pinça/pistão que gera o esforço de frenagem).
  • A pressão de contato máxima atuante entre guarnição e disco.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Capacidade de frenagem (torque requerido) por freio: \,T=820\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Raio interno da área de contato: \,r_i=100\\ \mathrm{mm}.
  • Raio externo da área de contato: \,r_o=160\\ \mathrm{mm}.
  • Ângulo da superfície de contato (setor): \,\theta=45^\circ.
  • Coeficiente de atrito da guarnição: \,\mu=0,35.
Observações numéricas que vou usar (convertendo para unidades do SI):
  • \,r_i=100\\ \mathrm{mm}=0{,}100\\ \mathrm{m}.
  • \,r_o=160\\ \mathrm{mm}=0{,}160\\ \mathrm{m}.
  • \,\theta=45^\circ=\dfrac{\pi}{4}\\ \mathrm{rad}.

Passo 2

Entendendo o critério do desgaste uniforme (aula rápida e intuída): quando se exige desgaste uniforme da guarnição, a condição física é que a taxa de desgaste em cada ponto da superfície seja a mesma. A taxa de desgaste local é proporcional à pressão local p(r) multiplicada pela velocidade de deslizamento local v(r). Num disco girando, v(r)=\omega r, então para que p(r)\,v(r) seja constante independente de r precisamos que
p(r)\propto \frac{1}{r}.
Logo, sob desgaste uniforme podemos escrever a distribuição de pressão como
p(r)=\frac{C}{r},
onde C é uma constante a determinar. Aqui r é a distância radial medida do centro do disco, e p(r) tem unidade de Pascal ( \mathrm{N/m^2}).

Passo 3

Expressões do esforço normal e do torque de atrito para a geometria dada (explicando cada termo):
A força normal resultante sobre uma guarnição (por setor de ângulo \theta) é a integral da pressão sobre a área:
N_{\text{pad}}=\int_{\text{área}} p(r)\,dA.á
Em coordenadas polares, dA=r\,dr\,d\varphi, e o setor tem \varphi variando em comprimento \theta. Substituindo p(r)=\dfrac{C}{r} obtemos
N_{\text{pad}}=\theta\int_{r_i}^{r_o}\frac{C}{r}\,r\,dr=\theta\int_{r_i}^{r_o}C\,dr=\theta\,C\,(r_o-r_i).
Ou seja,
C=\frac{N_{\text{pad}}}{\theta\,(r_o-r_i)}.
O torque de atrito produzido por uma única guarnição é a integral do momento de cada força de atrito elemental:
T_{\text{pad}}=\mu\int_{\text{área}} p(r)\,r\,dA =\mu\theta\int_{r_i}^{r_o}\frac{C}{r}\,r^2\,dr =\mu\theta C\int_{r_i}^{r_o}r\,dr =\mu\theta C\frac{r_o^2-r_i^2}{2}.á
Substituindo C dado acima:
T_{\text{pad}}=\mu\left(\frac{N_{\text{pad}}}{\theta(r_o-r_i)}\right)\theta\frac{r_o^2-r_i^2}{2} =\mu N_{\text{pad}}\frac{r_o^2-r_i^2}{2(r_o-r_i)}.
Simplificando \,r_o^2-r_i^2=(r_o-r_i)(r_o+r_i), obtemos
T_{\text{pad}}=\mu N_{\text{pad}}\frac{r_o+r_i}{2}.
Isto mostra que, no critério de desgaste uniforme, a “raio efetivo” onde age a força de atrito é
r_e=\frac{r_o+r_i}{2}.
Agora, numa pinça típica há duas guarnições (uma de cada lado do disco): cada guarnição exerce um torque \,T_{\text{pad}} no mesmo sentido sobre o disco, de modo que o torque total gerado pela pinça é
T_{\text{total}}=2\,T_{\text{pad}}=2\,\mu\,N_{\text{pad}}\,r_e.
Aqui eu estou usando o fato prático de que o pistão empurra uma guarnição e a outra reage; ambas têm a mesma força normal N_{\text{pad}}. Assim, a força de acionamento necessária (isto é, a força aplicada pelo pistão sobre a guarnição) é precisamente N_{\text{pad}}.

Passo 4

Calcular o raio efetivo \,r_e (passo simples e importante):
r_e=\frac{r_o+r_i}{2}=\frac{0{,}160+0{,}100}{2}\\ \mathrm{m}=\frac{0{,}260}{2}\\ \mathrm{m}=0{,}130\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Determinar a força de acionamento N_{\text{pad}} a partir do torque exigido \,T=820\\ \mathrm{N\cdot m}:
A relação é
T=2\,\mu\,N_{\text{pad}}\,r_e.
Isolando N_{\text{pad}}:
N_{\text{pad}}=\frac{T}{2\,\mu\,r_e}.
Substituindo valores:
N_{\text{pad}}=\frac{820}{2\cdot 0{,}35\cdot 0{,}130}\\ \mathrm{N}.
Faço as contas passo a passo:
2\cdot 0{,}35=0{,}70,\qquad 0{,}70\cdot 0{,}130=0{,}091.
Portanto
N_{\text{pad}}=\frac{820}{0{,}091}\\ \mathrm{N}\approx 9\,011{,}0\\ \mathrm{N}.
Interpretação: a força de acionamento necessária (força normal aplicada por pistão em cada guarnição) é aproximadamente \,9{,}01\times 10^{3}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Determinar a pressão máxima p_{\max}. Lembrete: com p(r)=\dfrac{C}{r} a pressão é máxima no raio interno r_i. Primeiro encontramos C usando a expressão de N_{\text{pad}}:
C=\frac{N_{\text{pad}}}{\theta\,(r_o-r_i)}.
Valores numéricos: \theta=\dfrac{\pi}{4}\\ \mathrm{rad} e r_o-r_i=0{,}160-0{,}100=0{,}060\\ \mathrm{m}. Substituindo:
C=\frac{9\,010{,}99}{(\pi/4)\cdot 0{,}060}\\ \mathrm{N/m}.
Calcule o denominador:
\frac{\pi}{4}\cdot 0{,}060\approx 0{,}785398\cdot 0{,}060\approx 0{,}0471239.
Logo
C\approx\frac{9\,011{,}0}{0{,}0471239}\\ \mathrm{N/m}\approx 1{,}91\times 10^{5}\\ \mathrm{N/m}.
A pressão máxima no raio interno é
p_{\max}=p(r_i)=\frac{C}{r_i}.
Com r_i=0{,}100\\ \mathrm{m}:
p_{\max}\approx\frac{1{,}9138\times 10^{5}}{0{,}100}\\ \mathrm{Pa}\approx 1{,}91\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}=1{,}91\\ \mathrm{MPa}.
Explicando em palavras: como p(r)\propto 1/r, a pressão aumenta ao aproximar-se do centro; assim o valor máximo ocorre em \,r=r_i.

Resposta

N_{\text{pad}}\approx 9{,}01\times 10^{3}\\ \mathrm{N}
p_{\max}\approx 1{,}91\\ \mathrm{MPa}

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