Exercício 9. Encontrar, em cada um dos itens abaixo, o subconjunto S do espaço vetorial real ( V,+, \cdot ), que geram os subespaços vetoriais U, W, U \cap W e U+W.
U=[p, q, r], W \doteq[s, u, v] e V \doteq \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}), munido das operações usuais, onde
p(t) \doteq t^{3}+4 t^{2}-t+3, \quad q(t) \doteq t^{3}+5 t^{2}+5, \quad r(t) \doteq 3 t^{3}, \text { para } t \in \mathbb{R}
e
s(t) \doteq t^{3}+4 t^{2}, \quad u(t) \doteq t-1, \quad v(t) \doteq 1, \text { para } t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial V=\mathscr P_{3}(\mathbb R) com os subespaços
U=\langle p,q,r\rangle,\quad p(t)=t^{3}+4t^{2}-t+3,\;q(t)=t^{3}+5t^{2}+5,\;r(t)=3t^{3},
W=\langle s,u,v\rangle,\quad s(t)=t^{3}+4t^{2},\;u(t)=t-1,\;v(t)=1.
Queremos encontrar geradores (conjuntos S) para U, W, U\cap W e U+W.

Passo 2

Expressamos cada polinômio no “vetor” de coordenadas relativo à base \{1,t,t^{2},t^{3}\}:
p\mapsto(3,-1,4,1),\quad q\mapsto(5,0,5,1),\quad r\mapsto(0,0,0,3),
s\mapsto(0,0,4,1),\quad u\mapsto(-1,1,0,0),\quad v\mapsto(1,0,0,0).
Assim um elemento genérico de U é \alpha p+\beta q+\gamma r e de W é \mu s+\nu u+\omega v.

Passo 3

Para achar U\cap W igualamos
\alpha p+\beta q+\gamma r=\mu s+\nu u+\omega v
e escrevemos o sistema de coordenadas. Das equações obtemos \nu=-\alpha, \beta=12\gamma, \mu=\alpha+15\gamma e \omega=2\alpha+5\beta.
Logo todo vetor de U\cap W pode ser escrito como
\alpha\,p+\gamma\,(12q+r),
com \alpha,\gamma\in\mathbb R.

Passo 4

Note que
12q+r=12(t^{3}+5t^{2}+5)+3t^{3}=15t^{3}+60t^{2}+60 =15\bigl(t^{3}+4t^{2}+4\bigr) =15\bigl(s+4v\bigr).
Como fator escalar não altera geração, temos
U\cap W=\langle p,\;s+4v\rangle.

Passo 5

Para U+W basta juntar geradores de U e W e extrair um subconjunto independente de dimensão máxima (é sabido que \dim(U+W)=4). Por exemplo, verifica-se que \{p,q,u,v\} é um conjunto de quatro vetores linearmente independentes em V, logo gera U+W.

Resposta

Sendo S_X um gerador de X, temos S_U=\{p,q,r\} S_W=\{s,u,v\} S_{U\cap W}=\{p,\;s+4v\} S_{U+W}=\{p,q,u,v\}

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