Exercício 9. Encontrar, em cada um dos itens abaixo, o subconjunto
do espaço vetorial real (
), que geram os subespaços vetoriais
e
.
e
, munido das operações usuais, onde
e
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço vetorial
com os subespaços
Queremos encontrar geradores (conjuntos
) para
,
,
e
.
Passo 2
Expressamos cada polinômio no “vetor” de coordenadas relativo à base
:
Assim um elemento genérico de
é
e de
é
.
Passo 3
Para achar
igualamos
e escrevemos o sistema de coordenadas. Das equações obtemos
,
,
e
.
Logo todo vetor de pode ser escrito como
Logo todo vetor de
com
.
Passo 4
Note que
Como fator escalar não altera geração, temos
Passo 5
Para
basta juntar geradores de
e
e extrair um subconjunto independente de dimensão máxima (é sabido que
). Por exemplo, verifica-se que
é um conjunto de quatro vetores linearmente independentes em
, logo gera
.
Resposta
Sendo
um gerador de
, temos