Exercício 9. Encontrar, em cada um dos itens abaixo, o subconjunto S do espaço vetorial real ( V,+, \cdot ), que geram os subespaços vetoriais U, W, U \cap W e U+W.
U \doteq\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y=0\right\}, W \doteq[(1,3,0),(0,4,6)] e V \doteq \mathbb{R}^{3}, munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar conjuntos geradores S tais que \mathrm{span}(S)=U, \mathrm{span}(S)=W, \mathrm{span}(S)=U\cap W e \mathrm{span}(S)=U+W,
onde
U=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+y=0\},\quad W=\mathrm{span}\{(1,3,0),(0,4,6)\}.
O conteúdo é subespaços vetoriais, sistemas de equações lineares e soma/interseção de subespaços.

Passo 2

Para gerar U resolvemos x+y=0, isto é x=-y. Logo todo vetor de U pode ser escrito como
(x,y,z)=(-y,y,0)+(0,0,z) =y\bigl(-1,1,0\bigr)+z\bigl(0,0,1\bigr).
Assim um conjunto gerador de U é
S_U=\{(-1,1,0),(0,0,1)\}.

Passo 3

Já está dado que
W=\mathrm{span}\{(1,3,0),(0,4,6)\},
logo um conjunto gerador de W é
S_W=\{(1,3,0),(0,4,6)\}.

Passo 4

Para U\cap W tomamos um vetor genérico de W,
v=a(1,3,0)+b(0,4,6)=(a,\,3a+4b,\,6b),
e impomos x+y=0:
a+(3a+4b)=0\;\Longrightarrow\;4a+4b=0\;\Longrightarrow\;b=-a.
Então
v=a\bigl[(1,3,0)-(0,4,6)\bigr] =a\,(1,-1,-6).
Logo U\cap W é uma reta gerada por (1,-1,-6) e um gerador é
S_{U\cap W}=\{(1,-1,-6)\}.

Passo 5

Pela definição de soma de subespaços,
U+W=\mathrm{span}\bigl(S_U\cup S_W\bigr) =\mathrm{span}\{(-1,1,0),(0,0,1),(1,3,0),(0,4,6)\}.
Como esse conjunto gera U+W, podemos tomar
S_{U+W}=\{(-1,1,0),(0,0,1),(1,3,0),(0,4,6)\}.

Resposta

S_U = \{(-1,1,0),(0,0,1)\}
S_W = \{(1,3,0),(0,4,6)\}
S_{U\cap W} = \{(1,-1,-6)\}
S_{ U+W} = \{(-1,1,0),(0,0,1),(1,3,0),(0,4,6)\}

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