Exercício 7. Encontre o menor número x>0 tal que \operatorname{sen}\left(e^{x}\right)=0

Passo 1

O enunciado pede o menor x>0 tal que \sin\bigl(e^{x}\bigr)=0. Aqui o conteúdo é o estudo dos zeros da função seno e a resolução da equação exponencial.

Passo 2

Sabemos que \sin(y)=0 exatamente quando
y = n\pi,
com n\in\mathbb{Z}. No nosso caso y=e^{x}, logo devemos ter
e^{x} = n\pi.

Passo 3

Para resolver e^{x}=n\pi em x, aplicamos o logaritmo natural:
x = \ln\bigl(n\pi\bigr).

Passo 4

Como e^{x}>0 para todo x, só faz sentido usar n\ge1. Queremos ainda x>0, ou seja,
\ln\bigl(n\pi\bigr)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad n\pi>1.
Para n=1 já temos 1\cdot\pi>\!1 e x=\ln(\pi)\approx1{,}14>0. Para n\ge2 o valor de \ln(n\pi) é ainda maior.

Resposta

O menor x>0 que satisfaz \sin\bigl(e^{x}\bigr)=0 é
x = \ln(\pi).

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