Exercício 4 Encontre a solução do problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+y^{\prime}=2+t^{2} \\\ y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial composto por uma equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais. Mais precisamente:
  • Equação diferencial: y''+y'=2+t^{2}.
  • Condições iniciais: y(0)=1,\quad y'(0)=2.
O que o problema pede: encontrar a solução y(t) que satisfaça a equação diferencial para todo t (ou pelo menos num intervalo onde a solução exista) e que também atenda às condições iniciais indicadas.
Informações relevantes dadas:
  • O lado direito da equação é o polinômio \,2+t^{2}\,.
  • As condições iniciais são fornecidas em t=0.
  • A equação é linear, de coeficientes constantes, e de segunda ordem.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada (é o passo padrão para equações lineares). A equação homogênea é
y''+y'=0.
Explicando a técnica: para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma \,y(t)=e^{rt}\,. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica:
r^{2}+r=0.
Resolvendo essa equação algébrica:
r(r+1)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0 \quad\text{ou}\quad r=-1.
Interpretação: as raízes indicam que duas soluções independentes da homogênea são e^{0t}=1 e e^{-t}. Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p}(t) da equação completa. Vou usar o método dos coeficientes indeterminados (explico o porquê): quando o segundo membro é um polinômio, exponencial, seno, cosseno ou combinação simples, costumamos tentar uma função da mesma família com coeficientes desconhecidos e determinar esses coeficientes fazendo substituir na equação.
Aqui o segundo membro é o polinômio \,2+t^{2}\,. Uma tentativa natural seria um polinômio de grau 2:
y_{p,\,\text{tent}}(t)=at^{2}+bt+c.
Mas atenção: se alguma parte dessa tentativa for solução da homogênea, temos que multiplicar por t^{s}, onde s é a multiplicidade da raiz r=0 (relacionada a polinômios) na equação característica. No nosso caso a homogênea tem solução constante 1 (porque r=0 é raiz simples). Isso significa que o termo constante do polinômio vai “colidir” com a solução homogênea. Como a raiz r=0 tem multiplicidade 1, multiplicamos por t a tentativa polinomial inteira. Assim a tentativa correta é um polinômio de grau 3 sem termo independente:
y_{p}(t)=A t^{3}+B t^{2}+C t.
(Observe que não há termo constante porque multiplicamos at^{2}+bt+c por t: t(at^{2}+bt+c)=A t^{3}+B t^{2}+C t.)
Agora calculamos as derivadas e substituímos em y''+y'.
Derivadas:
y_{p}'(t)=3A t^{2}+2B t + C,
y_{p}''(t)=6A t + 2B.
Somando:
y_{p}''+y_{p}' = (6A t + 2B) + (3A t^{2}+2B t + C).
Organizando por potências de t:
y_{p}''+y_{p}' = 3A t^{2} + (6A+2B)t + (2B + C).
Queremos que isso seja igual ao segundo membro \,2+t^{2}\,. Igualando coeficientes de potências correspondentes de t:
  • Coeficiente de t^{2}: \;3A = 1\;\Rightarrow\;A=\dfrac{1}{3}.
  • Coeficiente de t: \;6A+2B = 0\;. Substituindo A:
6\cdot\frac{1}{3}+2B=0 \quad\Rightarrow\quad 2+2B=0 \quad\Rightarrow\quad B=-1.
  • Termo constante: \;2B + C = 2\;. Substituindo B=-1:
2(-1)+C=2 \quad\Rightarrow\quad -2 + C = 2 \quad\Rightarrow\quad C=4.
Portanto os coeficientes são A=\dfrac{1}{3},\;B=-1,\;C=4 e uma solução particular é
y_{p}(t)=\dfrac{1}{3}t^{3}-t^{2}+4t.

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=C_{1}+C_{2}e^{-t}+\dfrac{1}{3}t^{3}-t^{2}+4t.
Agora usamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Calcule y(0):
y(0)=C_{1}+C_{2}+\dfrac{1}{3}\cdot 0^{3}-0^{2}+4\cdot 0 = C_{1}+C_{2}.
A condição y(0)=1 dá:
C_{1}+C_{2}=1. \quad(1)
Precisamos de y'(t). Derivando a expressão geral:
y'(t) = -C_{2}e^{-t} + \left(\dfrac{1}{3}t^{3}-t^{2}+4t\right)' = -C_{2}e^{-t} + t^{2}-2t+4.
Avaliar em t=0:
y'(0)= -C_{2} + 0 - 0 + 4 = -C_{2}+4.
A condição y'(0)=2 dá:
-C_{2}+4=2 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=2.
Substituindo em (1):
C_{1}+2=1 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=-1.
Obtivemos C_{1}=-1 e C_{2}=2.

Resposta

y(t)=\dfrac{1}{3}t^{3}-t^{2}+4t+2e^{-t}-1

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