Exercício 4 Encontre a solução do problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial composto por uma equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais. Mais precisamente:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
O que o problema pede: encontrar a solução
que satisfaça a equação diferencial para todo
(ou pelo menos num intervalo onde a solução exista) e que também atenda às condições iniciais indicadas.
Informações relevantes dadas:
- O lado direito da equação é o polinômio
. - As condições iniciais são fornecidas em
. - A equação é linear, de coeficientes constantes, e de segunda ordem.
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada (é o passo padrão para equações lineares). A equação homogênea é
Explicando a técnica: para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica:
Resolvendo essa equação algébrica:
Interpretação: as raízes indicam que duas soluções independentes da homogênea são
e
. Logo a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa. Vou usar o método dos coeficientes indeterminados (explico o porquê): quando o segundo membro é um polinômio, exponencial, seno, cosseno ou combinação simples, costumamos tentar uma função da mesma família com coeficientes desconhecidos e determinar esses coeficientes fazendo substituir na equação.
Aqui o segundo membro é o polinômio
. Uma tentativa natural seria um polinômio de grau
:
Mas atenção: se alguma parte dessa tentativa for solução da homogênea, temos que multiplicar por
, onde
é a multiplicidade da raiz
(relacionada a polinômios) na equação característica. No nosso caso a homogênea tem solução constante
(porque
é raiz simples). Isso significa que o termo constante do polinômio vai “colidir” com a solução homogênea. Como a raiz
tem multiplicidade
, multiplicamos por
a tentativa polinomial inteira. Assim a tentativa correta é um polinômio de grau
sem termo independente:
(Observe que não há termo constante porque multiplicamos
por
:
.)
Agora calculamos as derivadas e substituímos em
.
Derivadas:
Somando:
Organizando por potências de
:
Queremos que isso seja igual ao segundo membro
. Igualando coeficientes de potências correspondentes de
:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: . Substituindo :
- Termo constante:
. Substituindo :
Portanto os coeficientes são
e uma solução particular é
Passo 4
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Agora usamos as condições iniciais para determinar
e
.
Calcule
:
A condição
dá:
Precisamos de
. Derivando a expressão geral:
Avaliar em
:
A condição
dá:
Substituindo em (1):
Obtivemos
e
.