Exercício 51 - Verdadeiro ou Falso

A seguir, indique se cada afirmação é Verdadeira (V) ou Falsa (F).
  1. Toda matriz quadrada é invertível.
  2. A transposta de uma matriz simétrica é igual a ela mesma.
  3. Um sistema homogêneo sempre admite a solução trivial.
  4. Se o determinante de uma matriz é zero, ela não possui inversa.
  5. A Regra de Cramer pode ser aplicada a qualquer sistema linear.
  6. O conjunto das combinações lineares de vetores forma um subespaço vetorial.
  7. Dois vetores são linearmente dependentes se um é múltiplo do outro.
  8. Todo subespaço vetorial de
    \mathbb{R}^{n} possui base.
  9. A imagem de uma transformação linear é sempre um subespaço do contradomínio.
  10. Se
    T é linear, então
    T(\vec{u}+\vec{v})=T(\vec{u})+T(\vec{v}).
  11. Uma matriz triangular sempre tem determinante diferente de zero.
  12. A matriz adjunta pode ser usada para calcular a inversa de uma matriz.
  13. Um conjunto com mais vetores do que a dimensão do espaço é sempre linearmente dependente.
  14. O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial.
  15. Uma matriz ortogonal preserva comprimentos e ângulos.
  16. Mudança de base não altera a dimensão do espaço vetorial.
  17. Toda transformação linear é invertível.
  18. A composição de transformações lineares é sempre linear.
  19. Uma matriz diagonal tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero.
  20. Um sistema linear pode ter infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado pede que indiquemos, para cada uma das 20 afirmações listadas, se ela é Verdadeira (V) ou Falsa (F). Aqui estão as afirmações que devemos classificar (copiadas do enunciado):
  1. Toda matriz quadrada é invertível.
  2. A transposta de uma matriz simétrica é igual a ela mesma.
  3. Um sistema homogêneo sempre admite a solução trivial.
  4. Se o determinante de uma matriz é zero, ela não possui inversa.
  5. A Regra de Cramer pode ser aplicada a qualquer sistema linear.
  6. O conjunto das combinações lineares de vetores forma um subespaço vetorial.
  7. Dois vetores são linearmente dependentes se um é múltiplo do outro.
  8. Todo subespaço vetorial de \mathbb{R}^{n} possui base.
  9. A imagem de uma transformação linear é sempre um subespaço do contradomínio.
  10. Se T é linear, então T(\vec{u}+\vec{v})=T(\vec{u})+T(\vec{v}).
  11. Uma matriz triangular sempre tem determinante diferente de zero.
  12. A matriz adjunta pode ser usada para calcular a inversa de uma matriz.
  13. Um conjunto com mais vetores do que a dimensão do espaço é sempre linearmente dependente.
  14. O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial.
  15. Uma matriz ortogonal preserva comprimentos e ângulos.
  16. Mudança de base não altera a dimensão do espaço vetorial.
  17. Toda transformação linear é invertível.
  18. A composição de transformações lineares é sempre linear.
  19. Uma matriz diagonal tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero.
  20. Um sistema linear pode ter infinitas soluções.
Agora vamos analisar cada afirmação, uma por vez, explicando os conceitos e dando exemplos quando necessário.

Passo 2

Afirmação 1: “Toda matriz quadrada é invertível.”
Definição importante: uma matriz A quadrada de ordem n é invertível (ou não singular) se existe uma matriz A^{-1} tal que A A^{-1}=A^{-1}A=I_n, onde I_n é a identidade n\times n. Uma condição prática: A é invertível se e somente se \det(A)\neq 0.
Contraexemplo simples que mostra que a afirmação é falsa: considere
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}.
Aqui \det(A)=1\cdot4-2\cdot2=0, logo A não é invertível.
Conclusão: a afirmação é falsa.]

Passo 3

Afirmação 2: “A transposta de uma matriz simétrica é igual a ela mesma.”
Definição: uma matriz A é simétrica se A^T=A. A transposta A^T é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Logo, por definição, se A é simétrica então A^T=A.
Exemplo: \begin{pmatrix}2&3\\[4pt]3&5\end{pmatrix} é simétrica e sua transposta é a própria matriz.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.]

Passo 4

Afirmação 3: “Um sistema homogêneo sempre admite a solução trivial.”
Definição: um sistema homogêneo tem forma A\vec{x}=\vec{0}. A solução trivial é \vec{x}=\vec{0}. Substituindo \vec{x}=\vec{0} obtemos A\vec{0}=\vec{0} sempre, pois multiplicação por zero dá zero. Portanto todo sistema homogêneo tem pelo menos essa solução.
Observação extra: pode ter outras soluções (infinito número) se A tem posto menor que o número de incógnitas.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Afirmação 4: “Se o determinante de uma matriz é zero, ela não possui inversa.”
Teorema fundamental: para matriz quadrada A, A é invertível se e somente se \det(A)\neq 0. Portanto se \det(A)=0 então A não é invertível.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Afirmação 5: “A Regra de Cramer pode ser aplicada a qualquer sistema linear.”
Regra de Cramer: para o sistema linear quadrado A\vec{x}=\vec{b} com A n\times n, se \det(A)\neq 0 então a solução é dada por
x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)},
onde A_i é A com a i-ésima coluna substituída por \vec{b}.
Logo condições necessárias: o sistema deve ser quadrado e \det(A)\neq 0. Em sistemas não quadrados, ou em quadrados com determinante zero, a Regra de Cramer não se aplica.
Conclusão: a afirmação é falsa.

Passo 7

Afirmação 6: “O conjunto das combinações lineares de vetores forma um subespaço vetorial.”
Definição: dado um conjunto de vetores S=\{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_k\} em um espaço vetorial, a coleção de todas as combinações lineares
\text{span}(S)=\{c_1\vec{v}_1+\cdots+c_k\vec{v}_k\mid c_i\in\mathbb{R}\}
é chamada de espaço gerado por S. Propriedades: contém o vetor zero, é fechado sob soma e multiplicação por escalar — exatamente as condições para ser subespaço. Portanto o span de qualquer conjunto é um subespaço.
Exemplo simples: span \{(1,0),(0,1)\}=\mathbb{R}^2, que é subespaço.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 8

Afirmação 7: “Dois vetores são linearmente dependentes se um é múltiplo do outro.”
Definição: vetores \vec{u},\vec{v} são linearmente dependentes se existem escalares, não ambos nulos, a,b tais que a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{0}. Se um é múltiplo do outro, por exemplo \vec{v}=c\vec{u}, então \vec{v}-c\vec{u}=\vec{0}, o que dá uma combinação linear não trivial que zera, logo dependentes. A recíproca para dois vetores também vale: se são dependentes então um é múltiplo do outro (no caso de dois vetores).
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 9

Afirmação 8: “Todo subespaço vetorial de \mathbb{R}^{n} possui base.”
Teorema: qualquer subespaço de um espaço vetorial finito-dimensional (como \mathbb{R}^n) é finito-dimensional e possui uma base. Construtivamente, podemos pegar um conjunto gerador finito (por exemplo, todos vetores do subespaço que aparecem numa descrição) e aplicar o processo de eliminação de vetores linearmente dependentes (método de extração de base) até obter um conjunto linearmente independente que gere o subespaço — esse é uma base. A dimensão do subespaço é no máximo n.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 10

Afirmação 9: “A imagem de uma transformação linear é sempre um subespaço do contradomínio.”
Definição: para T:V\to W linear, a imagem (ou alcance) é \operatorname{Im}(T)=\{T(\vec{v})\mid \vec{v}\in V\}. Propriedades: contém \vec{0} (porque T(\vec{0})=\vec{0}), é fechada sob soma e escalar por linearidade de T. Logo \operatorname{Im}(T) é subespaço de W (o contradomínio).
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 11

Afirmação 10: “Se T é linear, então T(\vec{u}+\vec{v})=T(\vec{u})+T(\vec{v}).”
Essa é exatamente parte da definição de linearidade: T é linear se, para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v} e escalar c, valem T(\vec{u}+\vec{v})=T(\vec{u})+T(\vec{v}) e T(c\vec{u})=cT(\vec{u}).
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 12

Afirmação 11: “Uma matriz triangular sempre tem determinante diferente de zero.”
Lembrete: matriz triangular (superior ou inferior) tem determinante igual ao produto dos elementos da diagonal principal:
\det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.
Se algum desses termos da diagonal for zero, o produto (e portanto o determinante) é zero. Logo é perfeitamente possível ter uma matriz triangular com determinante zero. Exemplo:
A=\begin{pmatrix}1&2&3\\[4pt]0&0&5\\[4pt]0&0&2\end{pmatrix}
tem diagonal 1,0,2 e \det(A)=1\cdot0\cdot2=0.
Conclusão: a afirmação é falsa.]

Passo 13

Afirmação 12: “A matriz adjunta pode ser usada para calcular a inversa de uma matriz.”
Esclarecimento de terminologia: aqui usamos “matriz adjunta” no sentido clássico de algebra linear (adjugate ou matriz dos cofatores transposta), denotada \operatorname{adj}(A). Fórmula útil: se A é quadrada e \det(A)\neq 0, então
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
Portanto a adjunta serve sim para calcular a inversa, mas apenas quando a matriz for invertível ( \det(A)\neq 0). Em prática, para matrizes grandes isso é pouco eficiente, mas teoricamente é correto.
Conclusão: a afirmação é verdadeira (com a condição implícita de que a matriz seja invertível).

Passo 14

Afirmação 13: “Um conjunto com mais vetores do que a dimensão do espaço é sempre linearmente dependente.”
Teorema do espaço finito: em um espaço vetorial de dimensão n, qualquer conjunto com mais de n vetores é linearmente dependente. A intuição: você não pode ter mais vetores linearmente independentes do que a dimensão do espaço — é como tentar colocar 4 direções independentes num plano de dimensão 2.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 15

Afirmação 14: “O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial.”
Definição: o núcleo (ou kernel) de T:V\to W é \ker(T)=\{\vec{v}\in V\mid T(\vec{v})=\vec{0}\}. Verificações: contém \vec{0} (porque T(\vec{0})=\vec{0}), se \vec{u},\vec{v}\in\ker(T) então T(\vec{u}+\vec{v})=T(\vec{u})+T(\vec{v})=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}, e T(c\vec{u})=cT(\vec{u})=\vec{0}. Logo é subespaço de V.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 16

Afirmação 15: “Uma matriz ortogonal preserva comprimentos e ângulos.”
Definição: Q é ortogonal se Q^TQ=I. Propriedade: para vetores \vec{u},\vec{v}, o produto interno é preservado:
(Q\vec{u})\cdot(Q\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{v}.
Preservação do produto interno implica preservação de normas (comprimentos), pois \|Q\vec{u}\|^2=(Q\vec{u})\cdot(Q\vec{u})=\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2, e preservação de ângulos via cosseno do ângulo \cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}. Assim matrizes ortogonais realizam rotações e reflexões que não mudam comprimentos nem ângulos.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 17

Afirmação 16: “Mudança de base não altera a dimensão do espaço vetorial.”
A mudança de base é apenas uma reexpressão dos mesmos vetores em coordenadas diferentes. A dimensão de um espaço vetorial é um invariante: é o número de vetores em qualquer base. Trocar de base não altera esse número. Portanto a dimensão permanece a mesma.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 18

Afirmação 17: “Toda transformação linear é invertível.”
Para uma transformação linear T:V\to W ser invertível ela precisa ser bijetiva (injetora e sobrejetora). Muitas transformações lineares não são bijetivas: por exemplo a transformação zero T(\vec{v})=\vec{0} não é injetora (nem sobrejetora, salvo espaços triviais). Outro exemplo: projeção do \mathbb{R}^2 sobre o eixo x não é injetora. Portanto nem toda transformação linear é invertível.
Conclusão: a afirmação é falsa.

Passo 19

Afirmação 18: “A composição de transformações lineares é sempre linear.”
Se T:U\to V e S:V\to W são lineares, então para quaisquer \vec{u}_1,\vec{u}_2\in U e escalar c,
(S\circ T)(\vec{u}_1+\vec{u}_2)=S(T(\vec{u}_1+\vec{u}_2))=S(T(\vec{u}_1)+T(\vec{u}_2))=S(T(\vec{u}_1))+S(T(\vec{u}_2)),
e similar para multiplicação por escalar. Logo S\circ T é linear.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 20

Afirmação 19: “Uma matriz diagonal tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero.”
Definição: matriz diagonal é exatamente essa: somente entradas a_{ii} na diagonal principal podem ser possivelmente não nulas, e a_{ij}=0 para i\neq j. Exemplo:
D=\begin{pmatrix}3&0&0\\[4pt]0&5&0\\[4pt]0&0&-1\end{pmatrix}
é diagonal. Portanto a afirmação é a definição e é verdadeira.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.]

Passo 21

Afirmação 20: “Um sistema linear pode ter infinitas soluções.”
Resumo de possibilidades para um sistema linear A\vec{x}=\vec{b}:
  • nenhuma solução (inconsistente),
  • exatamente uma solução (quando A tem posto igual ao número de incógnitas, por exemplo matriz quadrada invertível),
  • infinitas soluções (quando há mais incógnitas do que equações independentes, ou posto menor que número de incógnitas e o sistema é consistente).
    Exemplo clássico: sistema com duas equações iguais em duas incógnitas mas consistentes tem uma família infinita de soluções paramétrica. Por isso um sistema linear pode sim ter infinitas soluções.
    Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Resposta

1\ F
2\ V
3\ V
4\ V
5\ F
6\ V
7\ V
8\ V
9\ V
10\ V
11\ F
12\ V
13\ V
14\ V
15\ V
16\ V
17\ F
18\ V
19\ V
20\ V

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