Exercício 2. A equação
\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x) y^{n}
conhecida como a equação de Bernoulli, é linear quando n=0 ou n=1. Mostre que ela pode ser reduzida a uma equação linear para qualquer outro valor de n por meio da mudança de variável z=y^{1-n} e aplique este método para resolver as seguintes equações:
(a) x y^{\prime}+y=x^{4} y^{3}

Passo 1

A equação de Bernoulli geral é
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
que para n\neq0,1 torna‐se linear sob a mudança de variável
z=y^{1-n}.
No item (a) temos
x\,y'+y=x^{4}y^{3},
ou seja y'+\frac{1}{x}y=x^{3}y^{3}, com P(x)=\tfrac{1}{x}, Q(x)=x^{3} e n=3.

Passo 2

Fazemos a substituição
z=y^{1-3}=y^{-2}.
Calculamos
\frac{dz}{dx}=-2\,y^{-3}\,\frac{dy}{dx} \quad\Longrightarrow\quad y^{-3}\,\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2}\,\frac{dz}{dx}.

Passo 3

Dividimos a equação padrão por y^{3}:
y^{-3}\,\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}\,y^{-2}=x^{3}.
Substituindo y^{-3}dy/dx e y^{-2}=z obtemos
-\tfrac12\frac{dz}{dx}+\frac{1}{x}z=x^{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dz}{dx}-\frac{2}{x}z=-2\,x^{3}.

Passo 4

É uma EDO linear em z. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int -\tfrac{2}{x}\,dx\Bigr)=x^{-2}.
Multiplicando tudo por x^{-2} vem
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}z\bigr)=-2\,x \quad\Longrightarrow\quad x^{-2}z=\int(-2\,x)\,dx=-x^{2}+C.
Logo
z=-x^{4}+C\,x^{2}.

Passo 5

Voltando a y:
y^{-2}=z=x^{2}(C-x^{2}) \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=\frac{1}{x^{2}(C-x^{2})} \quad\Longrightarrow\quad y=\pm\frac{1}{x\sqrt{C-x^{2}}}.

Resposta

y(x)=\pm\frac{1}{x\sqrt{C-x^{2}}},
onde C é constante de integração.

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