Exercício 2. A equação
\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x) y^{n}
conhecida como a equação de Bernoulli, é linear quando n=0 ou n=1. Mostre que ela pode ser reduzida a uma equação linear para qualquer outro valor de n por meio da mudança de variável z=y^{1-n} e aplique este método para resolver as seguintes equações:
(c) x \frac{d y}{d x}+y^{2}=x y^{2}

Passo 1

O enunciado trata da equação de Bernoulli
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
que para n\neq0,1 fica não linear, mas pode ser reduzida a uma equação linear pela mudança de variável
z=y^{1-n}.
Vamos aplicar esse método ao caso (c).

Passo 2

A equação dada em (c) é
x\frac{d y}{d x}+y^{2}=x\,y^{2}.
Dividindo por x escrevemos em forma padrão:
\frac{d y}{d x}+(0)\,y=\Bigl(1-\frac1x\Bigr)y^{2}.
Logo P(x)=0, Q(x)=1-\tfrac1x e n=2.

Passo 3

Tomamos a substituição típica de Bernoulli:
z=y^{1-n}=y^{1-2}=y^{-1}.
Derivando em função de x:
\frac{d z}{d x}=-1\cdot y^{-2}\,\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{y^{2}}\frac{d y}{d x}.

Passo 4

Como \tfrac{d y}{d x}=(1-\tfrac1x)y^{2}, substituímos:
\frac{d z}{d x} =-\frac{1}{y^{2}}\bigl(1-\tfrac1x\bigr)y^{2} =-(1-\tfrac1x) =-1+\frac1x.
Esse é um problema linear e fácil de integrar.

Passo 5

Integramos em x:
\frac{d z}{d x}=-1+\frac1x \quad\Longrightarrow\quad z(x)=-x+\ln\bigl|x\bigr|+C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Voltando a y, temos y=z^{-1}, ou seja
y(x)=\frac{1}{-\,x+\ln\lvert x\rvert +C}.

Resposta

y(x)=\frac{1}{-\,x+\ln\lvert x\rvert +C}.

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