Exercício 2.6 Um engenheiro necessita de um filtro passa-altas com uma impedância de entrada mínima de
em frequências muito altas. Utilizando uma topologia RC de primeira ordem com frequência de corte igual a 1 kHz , determine os valores de
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que foram fornecidos:
- O enunciado pede: determinar os valores de
e de um filtro passa-altas RC de primeira ordem com frequência de corte igual a e tal que a impedância de entrada mínima em frequências muito altas seja . - Informações dadas:
- Frequência de corte:
. - Impedância de entrada mínima em altas frequências:
.
- Frequência de corte:
- Objetivo final: encontrar um par
que satisfaça essas duas condições.
Passo 2
Escolha da topologia e interpretação do pedido (sem resolver ainda).
- A topologia RC de primeira ordem passa-altas mais comum e simples é a seguinte: um capacitor em série com a entrada e, após o capacitor, um resistor ligado ao terra (a saída é a tensão sobre esse resistor). Esta topologia tem comportamento passa-altas e é a que tipicamente se usa em enunciados desse tipo.
- Nesta topologia, a impedância que a fonte vê na entrada é a soma da impedância do capacitor com a resistência
. Em símbolos: Onde é a impedância do capacitor. - O enunciado pede que a impedância de entrada mínima em frequências muito altas seja
. Em frequências muito altas, a impedância do capacitor tende a zero (pois o capacitor se comporta como curto para ). Logo, para que o valor mínimo de (quando grande) seja , o valor do resistor deve ser igual a esse mínimo. Portanto fixaremos a partir dessa condição. Vou justificar isso com as fórmulas no passo seguinte.
Passo 3
Expressões de impedância e limite em altas frequências — justificando
.
- Impedância do capacitor:
onde é a frequência angular, é a unidade imaginária e é a capacitância. Aqui tem módulo . - Impedância de entrada do conjunto (série
com ): - Limite em frequências muito altas (
): , portanto - Como o enunciado exige que a impedância de entrada mínima (em altas frequências) seja
, concluímos
Passo 4
Fórmula da frequência de corte para o filtro passa-altas RC e justificativa.
- A função de transferência (ganho em módulo) do filtro passa-altas com capacitor em série e resistor a seguir (saída sobre
) é Esta é a forma padrão de um polo/zero simples de primeira ordem passa-altas. - A frequência de corte (ponto em que a magnitude do ganho cai a
do ganho em altas frequências) ocorre quando . Em termos de frequência linear: - Portanto, para obter
dado, devemos escolher de modo que essa relação seja satisfeita:
Passo 5
Cálculo numérico de
usando
e
.
- Substituindo
e em temos: - Escrevendo em potências de dez:
e . O produto é Então - Assim
- Convertendo para nanofarads (
):
Passo 6
Observações práticas e escolha comercial de componente
- O valor calculado é
. Em prática, capacitores têm valores comerciais discretos e tolerâncias (ex.: 10%, 5%). Valores próximos comercialmente comuns seriam ou (ou usar com tolerância 10%). Se precisar de maior precisão na frequência de corte, escolher um capacitor com baixa tolerância ou ajustar ligeiramente. - Resumindo: seguindo a interpretação padrão do enunciado, fixamos
igual à impedância mínima exigida em altas frequências e calculamos pela relação da frequência de corte.