Exercício 2.6 Um engenheiro necessita de um filtro passa-altas com uma impedância de entrada mínima de 10 k \Omega em frequências muito altas. Utilizando uma topologia RC de primeira ordem com frequência de corte igual a 1 kHz , determine os valores de R e C.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que foram fornecidos:
  • O enunciado pede: determinar os valores de R e C de um filtro passa-altas RC de primeira ordem com frequência de corte igual a 1\\ \text{kHz} e tal que a impedância de entrada mínima em frequências muito altas seja 10\\ \text{k}\Omega.
  • Informações dadas:
    • Frequência de corte: \,f_c = 1\\ \text{kHz}.
    • Impedância de entrada mínima em altas frequências: \,Z_{in,\min}=10\\ \text{k}\Omega.
  • Objetivo final: encontrar um par (R,C) que satisfaça essas duas condições.

Passo 2

Escolha da topologia e interpretação do pedido (sem resolver ainda).
  • A topologia RC de primeira ordem passa-altas mais comum e simples é a seguinte: um capacitor em série com a entrada e, após o capacitor, um resistor ligado ao terra (a saída é a tensão sobre esse resistor). Esta topologia tem comportamento passa-altas e é a que tipicamente se usa em enunciados desse tipo.
  • Nesta topologia, a impedância que a fonte vê na entrada é a soma da impedância do capacitor com a resistência R. Em símbolos: Z_{in}(\omega)=Z_C(\omega)+R.Onde Z_C(\omega) é a impedância do capacitor.
  • O enunciado pede que a impedância de entrada mínima em frequências muito altas seja 10\\ \text{k}\Omega. Em frequências muito altas, a impedância do capacitor tende a zero (pois o capacitor se comporta como curto para \omega\to\infty). Logo, para que o valor mínimo de Z_{in} (quando \omega grande) seja 10\\ \text{k}\Omega, o valor do resistor R deve ser igual a esse mínimo. Portanto fixaremos R a partir dessa condição. Vou justificar isso com as fórmulas no passo seguinte.

Passo 3

Expressões de impedância e limite em altas frequências — justificando R.
  • Impedância do capacitor: Z_C(\omega)=\frac{1}{j\omega C},onde \omega=2\pi f é a frequência angular, j é a unidade imaginária e C é a capacitância. Aqui Z_C tem módulo |Z_C|=1/(\omega C).
  • Impedância de entrada do conjunto (série C com R): Z_{in}(\omega)=R+\frac{1}{j\omega C}.
  • Limite em frequências muito altas ( \omega\to\infty): \dfrac{1}{j\omega C}\to 0, portanto \lim_{\omega\to\infty} Z_{in}(\omega)=R.
  • Como o enunciado exige que a impedância de entrada mínima (em altas frequências) seja 10\\ \text{k}\Omega, concluímos R = 10\\ \text{k}\Omega.

Passo 4

Fórmula da frequência de corte para o filtro passa-altas RC e justificativa.
  • A função de transferência (ganho em módulo) do filtro passa-altas com capacitor em série e resistor a seguir (saída sobre R) é H(j\omega)=\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{R}{R+\dfrac{1}{j\omega C}}=\frac{j\omega R C}{1+j\omega R C}.Esta é a forma padrão de um polo/zero simples de primeira ordem passa-altas.
  • A frequência de corte (ponto em que a magnitude do ganho cai a 1/\sqrt{2} do ganho em altas frequências) ocorre quando |j\omega R C|=1. Em termos de frequência linear: \omega_c = \frac{1}{R C}\quad\Longrightarrow\quad f_c=\frac{\omega_c}{2\pi}=\frac{1}{2\pi R C}.
  • Portanto, para obter f_c dado, devemos escolher C de modo que essa relação seja satisfeita: C=\frac{1}{2\pi R f_c}.

Passo 5

Cálculo numérico de C usando R=10\\ \text{k}\Omega e f_c=1\\ \text{kHz}.
  • Substituindo R=10\\ \text{k}\Omega e f_c=1\\ \text{kHz} em C=\frac{1}{2\pi R f_c},temos: C=\frac{1}{2\pi \cdot (10\\ \text{k}\Omega)\cdot(1\\ \text{kHz})}.
  • Escrevendo em potências de dez: 10\\ \text{k}\Omega=10\times 10^{3}\\ \Omega e 1\\ \text{kHz}=10^{3}\\ \text{Hz}. O produto R f_c é R f_c = (10\times 10^{3})\cdot(10^{3})=10\times 10^{6}=10^{7}.Então 2\pi R f_c = 2\pi \cdot 10^{7}\approx 6{,}283185\times 10^{7}.
  • Assim C=\frac{1}{6{,}283185\times 10^{7}}\\ \text{F}\approx 1{,}591549\times 10^{-8}\\ \text{F}.
  • Convertendo para nanofarads ( 1\\ \text{nF}=10^{-9}\\ \text{F}): C\approx 15{,}91549\\ \text{nF}\approx 15{,}9\\ \text{nF}.

Passo 6

Observações práticas e escolha comercial de componente
  • O valor calculado é C\approx 15{,}9\\ \text{nF}. Em prática, capacitores têm valores comerciais discretos e tolerâncias (ex.: 10%, 5%). Valores próximos comercialmente comuns seriam 15\\ \text{nF} ou 16\\ \text{nF} (ou usar 15\\ \text{nF} com tolerância 10%). Se precisar de maior precisão na frequência de corte, escolher um capacitor com baixa tolerância ou ajustar R ligeiramente.
  • Resumindo: seguindo a interpretação padrão do enunciado, fixamos R igual à impedância mínima exigida em altas frequências e calculamos C pela relação da frequência de corte.

Resposta

R = 10\\ \text{k}\Omega
C \approx 15{,}9\\ \text{nF}

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