Exercício 1: Esboce os diagramas assintóticos de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus) das seguintes funções de transferência.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede que eu esboce os diagramas assintóticos de Bode de magnitude (em
) e de fase (em graus).\n
Informações importantes extraídas do enunciado:
Informações importantes extraídas do enunciado:
- Fator numérico constante:
. - Fator no numerador:
— isso indica um zero em (observe que é um zero no semiplano direito, ou seja, zero de parte real positiva). - Poles: há um polo em
(integrador), um polo em e um polo em . - Os “cantos” (frequências de quebra) são
, e .\n
O objetivo é traçar os diagramas assintóticos (linhas retas) da magnitude e da fase, indicando as inclinações por decada e os valores de fase nas faixas relevantes.
Passo 2
Colocar
em fatores normalizados e identificar sinais (LHP/RHP):
Pode-se escrever o zero como
, então o zero está em
(RHP). Para análise de Bode usamos as formas normalizadas por frequência de canto:
mas, para magnitude, o importante é a frequência de canto
; para fase é crucial saber que o zero é no semiplano direito (RHP) — isso inverte o sinal da contribuição de fase desse zero.\n
Resumo dos elementos e seus efeitos assintóticos:
Resumo dos elementos e seus efeitos assintóticos:
- Polo em
(integrador): contribuição de magnitude para todas as frequências; contribuição de fase constante . - Zero em
(RHP): a magnitude adiciona acima de ; a fase muda de para (note o sinal negativo por ser RHP), variando aproximadamente linear entre e com em . - Polo em
(LHP): magnitude adiciona acima de ; fase vai de a aproximadamente entre e , com em . - Polo em
(LHP): magnitude adiciona acima de ; fase vai de a aproximadamente entre e , com em .
Passo 3
Regra prática para magnitude em
: somamos as contribuições dos fatores
Para os ramos de primeira ordem usamos as assintotas: cada zero simples acrescenta
a partir de sua frequência de canto; cada polo simples acrescenta
a partir de sua frequência de canto; o integrador (
) já dá
desde
.\n
Mas para posicionar verticalmente as linhas assintóticas precisamos de um ponto de ancoragem numérico (um valor exato) em alguma frequência. Vou calcular exatamente em
(frequência do zero) — é conveniente e os números ficam simples.
Mas para posicionar verticalmente as linhas assintóticas precisamos de um ponto de ancoragem numérico (um valor exato) em alguma frequência. Vou calcular
Passo 4
Calcular
passo a passo (muito didático):
- Numerador em
:
O módulo de
é
. Multiplicando pelo fator
do numerador:
- Denominador em
:
Produto (aproximação prática):
- Logo
Em
:
Portanto o valor exato aproximado em
é
. Esse ponto serve como ancoragem vertical para as linhas assintóticas.
Passo 5
Construção assintótica da magnitude (linhas e valores):
- Para
: somente o integrador contribui com inclinação . Como em temos , um década abaixo ( ) a magnitude assintótica será aproximadamente
(do jeito correto: descer 20 dB por década ao aumentar
; ao diminuir
sobe 20 dB por década).
- Para
: aparece o zero em RHP, que acrescenta , cancelando a inclinação do integrador. Assim a linha assintótica é plana ( ) e passa por . - Para
: o polo em entra e soma . Então a inclinação passa a ser . Assim em a partir de uma década abaixo/ acima: em temos (continuidade assintótica) e em a assintota terá aproximadamente
- Para
: o segundo polo em entra e acrescenta mais , totalizando para . Assim em (uma década acima) teremos
Resumo prático (pontos úteis para desenhar a assíntota):
-
. -
(âncora). -
(plano entre e ). -
. -
. -
.\n
Essas retas formam o esboço assintótico da magnitude em.
Passo 6
Construção assintótica da fase (explicação e soma de contribuições):
Regra prática para fase (aproximação em três regiões por elemento de primeira ordem):
Regra prática para fase (aproximação em três regiões por elemento de primeira ordem):
- Um polo/zero de primeira ordem com canto em
altera a fase linearmente entre e , variando por no total (sinal positivo para zero LHP, negativo para polo LHP). Para zero RHP o sinal é invertido (zero RHP: fase vai de para ). - Integrador (
) fornece constante para todas as frequências.\n
Vamos somar as contribuições nos pontos-chave usando a aproximação linear:
Contribuições individuais (resumo):
- Integrador (
): sempre . - Zero em
(RHP): varia de (para ) a (para ), com em . - Polo em
(LHP): varia de (para ) a (para ), com em . - Polo em
(LHP): varia de (para ) a (para ), com em .
Calcular fase total aproximada em frequências típicas:
-
(ex.: ): - integrador:
- zero em
: - polos em
e : - total
.
- integrador:
-
: - integrador:
- zero (no canto):
(RHP → negativo) - polos:
- total
.
- integrador:
-
: - integrador:
- zero:
(já completou a transição) - polo em
: começa a atuar (em ainda ~ pela aproximação) - polo em
: - total
.
- integrador:
-
: - integrador:
- zero:
- polo em
: - polo em
: - total
.
- integrador:
-
: - integrador:
- zero:
- polo em
: - polo em
: - total
.
- integrador:
-
(ex.: ): - cada elemento atingiu sua fase plena: integrador
, zero , polo10 , polo100 - total
.\n
Observações didáticas:
- cada elemento atingiu sua fase plena: integrador
- Note o efeito da zero no RHP: em vez de aumentar a fase (como faria um zero LHP), ele reduz a fase (contribuição negativa). Isso é característica de zeros RHP (sinal invertido na fase).
- Em Bode de fase assintótico desenhe segmentos lineares que modificam a fase entre
e para cada canto; depois some verticalmente as retas das contribuições.
Passo 7
Instruções práticas para esboçar os diagramas:
- Eixo horizontal: escala logarítmica em
(por exemplo: ). - Magnitude (em
): começar em no ponto . Para desenhar linha com inclinação . Entre e desenhar linha plana em . Após inclinar . Após inclinar no total. Marcar os pontos numéricos do Passo 5 para orientar o traçado. - Fase (em graus): desenhar soma das contribuições conforme Passo 6 — comece em
muito abaixo de , passe por em , por em , por em , por em e aproxime em . Use as transições lineares entre e para cada canto.\n
Dica de exame: desenhe primeiro as inclinações (soma algébrica das inclinações por década), marque os cantos e depois ajuste verticalmente usando o valor exato calculado em(âncora). Para a fase, some as contribuições elementares em alguns pontos e ligue por segmentos lineares.
Resposta
Magnitude assintótica (em
):
- Cantos em
. - Valor exato aproximado em
(âncora). - Regiões:
-
: inclinação . -
: inclinação (plano) em . -
: inclinação . -
: inclinação .
-
- Pontos úteis:
; ; ; ; ; .
Fase assintótica (em graus):
- Contribuições elementares:
- integrador (
): sempre ; - zero em
(RHP): transição entre e (valor em ); - polo em
(LHP): transição entre e (valor em ); - polo em
(LHP): transição entre e (valor em ).
- integrador (
- Valores aproximados somados:
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
-