Exercício 1: Esboce os diagramas assintóticos de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus) das seguintes funções de transferência.
H(s)=\frac{100(10 s-1)}{s(s+10)(s+100)}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
H(s)=\frac{100(10s-1)}{s(s+10)(s+100)}
e pede que eu esboce os diagramas assintóticos de Bode de magnitude (em \mathrm{dB}) e de fase (em graus).\n
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Fator numérico constante: 100.
  • Fator no numerador: 10s-1 — isso indica um zero em s=\;0{,}1 (observe que é um zero no semiplano direito, ou seja, zero de parte real positiva).
  • Poles: há um polo em s=0 (integrador), um polo em s=-10 e um polo em s=-100.
  • Os “cantos” (frequências de quebra) são \omega_z=0{,}1, \omega_{p1}=10 e \omega_{p2}=100.\n
    O objetivo é traçar os diagramas assintóticos (linhas retas) da magnitude e da fase, indicando as inclinações por decada e os valores de fase nas faixas relevantes.

Passo 2

Colocar H(s) em fatores normalizados e identificar sinais (LHP/RHP):
H(s)=100\cdot(10s-1)\cdot\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{(s+10)}\cdot\frac{1}{(s+100)}.
Pode-se escrever o zero como 10(s-0{,}1), então o zero está em s=+0{,}1 (RHP). Para análise de Bode usamos as formas normalizadas por frequência de canto:
(10s-1)=10\left(s-0{,}1\right)=10\cdot(-1)\left(1-\frac{s}{0{,}1}\right),
mas, para magnitude, o importante é a frequência de canto \omega=0{,}1; para fase é crucial saber que o zero é no semiplano direito (RHP) — isso inverte o sinal da contribuição de fase desse zero.\n
Resumo dos elementos e seus efeitos assintóticos:
  • Polo em s=0 (integrador): contribuição de magnitude -20\\ \mathrm{dB/dec} para todas as frequências; contribuição de fase constante -90^\circ.
  • Zero em s=+0{,}1 (RHP): a magnitude adiciona +20\\ \mathrm{dB/dec} acima de \omega=0{,}1; a fase muda de 0^\circ para -90^\circ (note o sinal negativo por ser RHP), variando aproximadamente linear entre \omega=0{,}01 e \omega=1 com -45^\circ em \omega=0{,}1.
  • Polo em s=-10 (LHP): magnitude adiciona -20\\ \mathrm{dB/dec} acima de \omega=10; fase vai de 0^\circ a -90^\circ aproximadamente entre \omega=1 e \omega=100, com -45^\circ em \omega=10.
  • Polo em s=-100 (LHP): magnitude adiciona -20\\ \mathrm{dB/dec} acima de \omega=100; fase vai de 0^\circ a -90^\circ aproximadamente entre \omega=10 e \omega=1000, com -45^\circ em \omega=100.

Passo 3

Regra prática para magnitude em \mathrm{dB}: somamos as contribuições dos fatores
20\log_{10}|H(j\omega)| = 20\log_{10}|100| + 20\log_{10}|10j\omega-1| - 20\log_{10}|\;j\omega\;| -20\log_{10}|j\omega+10| -20\log_{10}|j\omega+100|.
Para os ramos de primeira ordem usamos as assintotas: cada zero simples acrescenta +20\\ \mathrm{dB/dec} a partir de sua frequência de canto; cada polo simples acrescenta -20\\ \mathrm{dB/dec} a partir de sua frequência de canto; o integrador ( 1/s) já dá -20\\ \mathrm{dB/dec} desde \omega\to0.\n
Mas para posicionar verticalmente as linhas assintóticas precisamos de um ponto de ancoragem numérico (um valor exato) em alguma frequência. Vou calcular |H(j\omega)| exatamente em \omega=0{,}1 (frequência do zero) — é conveniente e os números ficam simples.

Passo 4

Calcular |H(j0{,}1)| passo a passo (muito didático):
  • Numerador em \omega=0{,}1:
10j\omega-1=10j(0{,}1)-1=j1-1.
O módulo de j1-1 é \sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}. Multiplicando pelo fator 100 do numerador:
| \text{num} | = 100\cdot\sqrt{2}.
  • Denominador em \omega=0{,}1:
|j\omega|=0{,}1,
|j\omega+10|=\sqrt{10^2+(0{,}1)^2}=\sqrt{100+0{,}01}\approx10{,}0005\approx10,
|j\omega+100|=\sqrt{100^2+(0{,}1)^2}\approx100.
Produto (aproximação prática):
| \text{den} | \approx 0{,}1\cdot10\cdot100=100.
  • Logo
|H(j0{,}1)|\approx\frac{100\sqrt{2}}{100}=\sqrt{2}\approx1{,}4142.
Em \mathrm{dB}:
20\log_{10}\bigl(|H(j0{,}1)|\bigr)=20\log_{10}(\sqrt{2})=20\cdot\frac{1}{2}\log_{10}(2)\approx3{,}01\\ \mathrm{dB}.
Portanto o valor exato aproximado em \omega=0{,}1 é +3{,}01\\ \mathrm{dB}. Esse ponto serve como ancoragem vertical para as linhas assintóticas.

Passo 5

Construção assintótica da magnitude (linhas e valores):
  • Para \omega<0{,}1: somente o integrador contribui com inclinação -20\\ \mathrm{dB/dec}. Como em \omega=0{,}1 temos +3{,}01\\ \mathrm{dB}, um década abaixo ( \omega=0{,}01) a magnitude assintótica será aproximadamente
+3{,}01\\ \mathrm{dB} +20\\ \mathrm{dB} = +23{,}01\\ \mathrm{dB}.
(do jeito correto: descer 20 dB por década ao aumentar \omega; ao diminuir \omega sobe 20 dB por década).
  • Para 0{,}1<\omega<10: aparece o zero em RHP, que acrescenta +20\\ \mathrm{dB/dec}, cancelando a inclinação do integrador. Assim a linha assintótica é plana ( 0\\ \mathrm{dB/dec}) e passa por +3{,}01\\ \mathrm{dB}.
  • Para 10<\omega<100: o polo em 10 entra e soma -20\\ \mathrm{dB/dec}. Então a inclinação passa a ser -20\\ \mathrm{dB/dec}. Assim em \omega=100 a partir de \omega=10 uma década abaixo/ acima: em \omega=10 temos +3{,}01\\ \mathrm{dB} (continuidade assintótica) e em \omega=100 a assintota terá aproximadamente
+3{,}01\\ \mathrm{dB} -20\\ \mathrm{dB} = -16{,}99\\ \mathrm{dB}.
  • Para \omega>100: o segundo polo em 100 entra e acrescenta mais -20\\ \mathrm{dB/dec}, totalizando -40\\ \mathrm{dB/dec} para \omega>100. Assim em \omega=1000 (uma década acima) teremos
-16{,}99\\ \mathrm{dB} -40\\ \mathrm{dB} = -56{,}99\\ \mathrm{dB}.
Resumo prático (pontos úteis para desenhar a assíntota):
  • \omega=0{,}01:\\\ +23{,}01\\ \mathrm{dB}.
  • \omega=0{,}1:\\\ +3{,}01\\ \mathrm{dB} (âncora).
  • \omega=1:\\\ +3{,}01\\ \mathrm{dB} (plano entre 0{,}1 e 10).
  • \omega=10:\\\ +3{,}01\\ \mathrm{dB}.
  • \omega=100:\\\ -16{,}99\\ \mathrm{dB}.
  • \omega=1000:\\\ -56{,}99\\ \mathrm{dB}.\n
    Essas retas formam o esboço assintótico da magnitude em \mathrm{dB}.

Passo 6

Construção assintótica da fase (explicação e soma de contribuições):
Regra prática para fase (aproximação em três regiões por elemento de primeira ordem):
  • Um polo/zero de primeira ordem com canto em \omega_c altera a fase linearmente entre \omega_c/10 e 10\omega_c, variando por \pm90^\circ no total (sinal positivo para zero LHP, negativo para polo LHP). Para zero RHP o sinal é invertido (zero RHP: fase vai de 0^\circ para -90^\circ).
  • Integrador ( 1/s) fornece constante -90^\circ para todas as frequências.\n
    Vamos somar as contribuições nos pontos-chave usando a aproximação linear:
Contribuições individuais (resumo):
  • Integrador ( 1/s): sempre -90^\circ.
  • Zero em \omega=0{,}1 (RHP): varia de 0^\circ (para \omega\le0{,}01) a -90^\circ (para \omega\ge1), com -45^\circ em \omega=0{,}1.
  • Polo em \omega=10 (LHP): varia de 0^\circ (para \omega\le1) a -90^\circ (para \omega\ge100), com -45^\circ em \omega=10.
  • Polo em \omega=100 (LHP): varia de 0^\circ (para \omega\le10) a -90^\circ (para \omega\ge1000), com -45^\circ em \omega=100.
Calcular fase total aproximada em frequências típicas:
  • \omega\ll0{,}01 (ex.: \omega=0{,}001):
    • integrador: -90^\circ
    • zero em 0{,}1: 0^\circ
    • polos em 10 e 100: 0^\circ
    • total \approx -90^\circ.
  • \omega=0{,}1:
    • integrador: -90^\circ
    • zero (no canto): -45^\circ (RHP → negativo)
    • polos: 0^\circ
    • total \approx -135^\circ.
  • \omega=1:
    • integrador: -90^\circ
    • zero: -90^\circ (já completou a transição)
    • polo em 10: começa a atuar (em \omega=1 ainda ~ 0^\circ pela aproximação)
    • polo em 100: 0^\circ
    • total \approx -180^\circ.
  • \omega=10:
    • integrador: -90^\circ
    • zero: -90^\circ
    • polo em 10: -45^\circ
    • polo em 100: 0^\circ
    • total \approx -225^\circ.
  • \omega=100:
    • integrador: -90^\circ
    • zero: -90^\circ
    • polo em 10: -90^\circ
    • polo em 100: -45^\circ
    • total \approx -315^\circ.
  • \omega\gg1000 (ex.: \omega=10000):
    • cada elemento atingiu sua fase plena: integrador -90^\circ, zero -90^\circ, polo10 -90^\circ, polo100 -90^\circ
    • total \approx -360^\circ.\n
      Observações didáticas:
  • Note o efeito da zero no RHP: em vez de aumentar a fase (como faria um zero LHP), ele reduz a fase (contribuição negativa). Isso é característica de zeros RHP (sinal invertido na fase).
  • Em Bode de fase assintótico desenhe segmentos lineares que modificam a fase entre \omega_c/10 e 10\omega_c para cada canto; depois some verticalmente as retas das contribuições.

Passo 7

Instruções práticas para esboçar os diagramas:
  • Eixo horizontal: escala logarítmica em \omega (por exemplo: 0{,}01,\;0{,}1,\;1,\;10,\;100,\;1000).
  • Magnitude (em \mathrm{dB}): começar em \omega=0{,}1 no ponto \approx+3{,}01\\ \mathrm{dB}. Para \omega<0{,}1 desenhar linha com inclinação -20\\ \mathrm{dB/dec}. Entre 0{,}1 e 10 desenhar linha plana em +3{,}01\\ \mathrm{dB}. Após 10 inclinar -20\\ \mathrm{dB/dec}. Após 100 inclinar -40\\ \mathrm{dB/dec} no total. Marcar os pontos numéricos do Passo 5 para orientar o traçado.
  • Fase (em graus): desenhar soma das contribuições conforme Passo 6 — comece em -90^\circ muito abaixo de 0{,}01, passe por -135^\circ em \omega=0{,}1, por -180^\circ em \omega=1, por -225^\circ em \omega=10, por -315^\circ em \omega=100 e aproxime -360^\circ em \omega\gg1000. Use as transições lineares entre \omega_c/10 e 10\omega_c para cada canto.\n
    Dica de exame: desenhe primeiro as inclinações (soma algébrica das inclinações por década), marque os cantos e depois ajuste verticalmente usando o valor exato calculado em \omega=0{,}1 (âncora). Para a fase, some as contribuições elementares em alguns pontos e ligue por segmentos lineares.

Resposta

Magnitude assintótica (em \mathrm{dB}):
  • Cantos em \omega=0{,}1,\;10,\;100.
  • Valor exato aproximado em \omega=0{,}1:\\\ +3{,}01\\ \mathrm{dB} (âncora).
  • Regiões:
    • \omega<0{,}1: inclinação -20\\ \mathrm{dB/dec}.
    • 0{,}1<\omega<10: inclinação 0\\ \mathrm{dB/dec} (plano) em \approx+3{,}01\\ \mathrm{dB}.
    • 10<\omega<100: inclinação -20\\ \mathrm{dB/dec}.
    • \omega>100: inclinação -40\\ \mathrm{dB/dec}.
  • Pontos úteis: \omega=0{,}01:\\\ +23{,}01\\ \mathrm{dB}; \omega=0{,}1:\\\ +3{,}01\\ \mathrm{dB}; \omega=1:\\\ +3{,}01\\ \mathrm{dB}; \omega=10:\\\ +3{,}01\\ \mathrm{dB}; \omega=100:\\\ -16{,}99\\ \mathrm{dB}; \omega=1000:\\\ -56{,}99\\ \mathrm{dB}.
Fase assintótica (em graus):
  • Contribuições elementares:
    • integrador ( 1/s): sempre -90^\circ;
    • zero em \omega=0{,}1 (RHP): transição 0^\circ\to -90^\circ entre \omega=0{,}01 e \omega=1 (valor -45^\circ em \omega=0{,}1);
    • polo em \omega=10 (LHP): transição 0^\circ\to -90^\circ entre \omega=1 e \omega=100 (valor -45^\circ em \omega=10);
    • polo em \omega=100 (LHP): transição 0^\circ\to -90^\circ entre \omega=10 e \omega=1000 (valor -45^\circ em \omega=100).
  • Valores aproximados somados:
    • \omega\ll0{,}01:\\\ -90^\circ.
    • \omega=0{,}1:\\\ -135^\circ.
    • \omega=1:\\\ -180^\circ.
    • \omega=10:\\\ -225^\circ.
    • \omega=100:\\\ -315^\circ.
    • \omega\gg1000:\\\ -360^\circ.

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