Exercício 1: Esboce os diagramas assintóticos de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus) das seguintes funções de transferência. H(s)=\frac{100(s+10)}{s^{2}+100 s}
Passo 1
O enunciado pede: esboçar os diagramas assintóticos de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus) para a função de transferência dada. As informações do enunciado são:
H(s)=\frac{100(s+10)}{s^{2}+100s}.
Itens relevantes extraídos do enunciado (lista de dados que vamos usar):
\text{a)}\; H(s)\\ \text{(função de transferência dada)}.
\text{b)}\; \text{Não há figura adicional; devemos desenhar os diagramas assintóticos por fatorização.}
As perguntas implícitas que vamos responder:
Como fatorar \,H(s)\, em polos, zeros e ganho constante?
Quais são as frequências de canto (breakpoints) relevantes?
Qual é a asintótica de magnitude em dB (incluindo inclinações por década e níveis nos cantos)?
Qual é a asintótica de fase (valores e faixas em que cada polo/zero contribui)?
Passo 2
Fatoração e identificação de polos, zeros e ganho: primeiro vamos manipular \,H(s)\, para ver os fatores elementares.
\text{zero simples em }s=-10\quad\Rightarrow\quad \omega_z=10\\ \text{(rad/s)},
\text{polo simples em }s=0\quad\Rightarrow\quad \text{integrador (polo de origem)},
\text{polo simples em }s=-100\quad\Rightarrow\quad \omega_p=100\\ \text{(rad/s)}.
Explicando o porquê disso (didático): escrever a função como produto de fatores facilita montar o Bode assintótico. Cada fator do tipo (1+s/\omega_0) (zero) dá +20 dB/decade a partir de \omega_0; cada fator do tipo 1/(1+s/\omega_0) (polo) dá −20 dB/decade a partir de \omega_0. Um polo em zero (integrador) é especial: contribui com uma inclinação de −20 dB/decade desde o início (e fase constante −90°). O ganho multiplicativo K traduz-se em uma adição constante de 20\log_{10}K dB na magnitude.
Passo 3
Montar a magnitude assintótica (regras e cálculos numéricos):
Regra geral: em dB
Portanto a reta para \omega<10 passa por 20\\ \text{dB} em \omega=1 e tem declive -20\\ \text{dB/dec}.
Em \omega=10 (canto do zero), a reta de baixa frequência dá:
\text{valor na asintótica antes do canto}:\;20\\ \text{dB} -20\log_{10}(10)=20-20=0\\ \text{dB}.
Logo o ponto de quebra em \omega=10 fica em aproximadamente 0\\ \text{dB}.
Para 10<\omega<100 a inclinação é 0 dB/dec e a magnitude assintótica fica em aproximadamente 0\\ \text{dB}.
Em \omega=100 (canto do polo em 100) o valor da asintótica é cerca de 0\\ \text{dB}. Para \omega>100 a inclinação passa a -20\\ \text{dB/dec}, então em \omega=1000 teremos aproximadamente -20\\ \text{dB}.
Resumo da magnitude assintótica para desenho:
\begin{cases} \omega<10:& \text{reta com slope }-20\\ \text{dB/dec, passando por }20\\ \text{dB em }\omega=1,\\[4pt] 10<\omega<100:& \text{reta horizontal (}0\\ \text{dB/dec), } \text{nível }\approx 0\\ \text{dB},\\[4pt] \omega>100:& \text{reta com slope }-20\\ \text{dB/dec, passando por }0\\ \text{dB em }\omega=100. \end{cases}]
Passo 4
Montar a fase assintótica (regras e cálculos numéricos):
Regras úteis (didático):
Um integrador ([1/s)) dá fase fixa -90^\circ para todas as frequências.
Um zero de primeira ordem em \omega_z adiciona aproximadamente +90^\circ à fase, distribuídos linearmente em log(ω) entre \omega_z/10 e 10\omega_z. Ou seja, começa a subir em \omega=\omega_z/10, chega a +45^\circ em \omega=\omega_z e a +90^\circ em \omega=10\omega_z.
Um polo de primeira ordem em \omega_p subtrai aproximadamente 90^\circ, com rampa entre \omega_p/10 e 10\omega_p (0° → −45° em \omega_p → −90° em 10\omega_p).
Aplicando ao nosso caso:
Integrador: sempre -90^\circ.
Zero em \omega_z=10: rampa de +0^\circ a +90^\circ entre \omega=1 e \omega=100 (ou seja, começa a subir em \omega=1, atinge +45^\circ em \omega=10, e chega a +90^\circ em \omega=100).
Polo em \omega_p=100: rampa de 0^\circ a -90^\circ entre \omega=10 e \omega=1000 (começa a cair em \omega=10, atinge -45^\circ em \omega=100, e chega a -90^\circ em \omega=1000).
Calculemos os níveis assintóticos em faixas chaves (fazendo soma das contribuições):
\omega<1: zero e polo de 100 não contribuem (fase ≈ 0° cada). Só o integrador: fase total \approx -90^\circ.
\omega=1 (início da rampa do zero): zero ainda ≈ 0^\circ, polo 100 ≈ 0^\circ ⇒ fase \approx -90^\circ.
\omega=10 (meio da rampa do zero e início da rampa do polo):
integrador: -90^\circ,
zero em 10: aproximadamente +45^\circ (pelo ponto médio da sua rampa),
polo em 100: começa a rampa em 10, então aproxima-se de 0^\circ.
Soma: -90+45+0=-45^\circ.
\omega=100 (zero já contribuiu +90°, polo em 100 está em -45^\circ no ponto médio):
integrador: -90^\circ,
zero: +90^\circ,
polo: -45^\circ.
Soma: -90+90-45=-45^\circ.
Observação didática: entre 10 e 100 as rampas do zero e do polo se sobrepõem parcialmente de modo que as suas variações se cancelam aproximadamente, produzindo uma fase relativamente plana em torno de -45^\circ.
\omega=1000 (polo já em -90^\circ, zero em +90^\circ):
integrador: -90^\circ,
zero: +90^\circ,
polo: -90^\circ.
Soma: -90+90-90=-90^\circ.
\omega\gg 1000: todos no valor final acima ⇒ fase total \approx -90^\circ.
Resumo da fase assintótica para desenho (peças):
\begin{cases} \omega<1:& \varphi(\omega)\approx -90^\circ,\\\\ 1<\omega<10:& \varphi(\omega)\text{ sobe linearmente (em escala log) de }-90^\circ\text{ até }-45^\circ\\ \text{em }\omega=10,\\\\ 10<\omega<100:& \varphi(\omega)\text{ fica aproximadamente }-45^\circ\\ (\text{efeito compensatório zero/polo}),\\\\ 100<\omega<1000:& \varphi(\omega)\text{ desce linearmente (em escala log) de }-45^\circ\text{ até }-90^\circ\\ \text{em }\omega=1000,\\\ \omega>1000:& \varphi(\omega)\approx -90^\circ. \end{cases}éóé
Explicação rápida do formato das rampas: cada zero/polo de primeira ordem muda a fase em 90^\circ\] ao longo de duas décadas centradas na sua frequência de canto; graficamente, isso dá rampas lineares em escala log (aprox. \(45^\circ por década por cada fator).
Passo 5
Instruções práticas para esboçar os diagramas (passo a passo para desenhar na prova sem calculadora):
Marque as frequências de canto (em rad/s) no eixo log: \omega=10 e \omega=100. Também indique pontos auxiliares \omega=1 e \omega=1000 para as rampas de fase.
Magnitude:
Comece uma reta com slope -20\\ \text{dB/dec} passando por 20\\ \text{dB} em \omega=1. Essa reta alcança 0\\ \text{dB} em \omega=10.
Em \omega=10 a inclinação muda para 0\\ \text{dB/dec}: desenhe uma reta horizontal em 0\\ \text{dB} até \omega=100.
Em \omega=100 a inclinação passa para -20\\ \text{dB/dec} novamente: desenhe a reta decrescente a partir de 0\\ \text{dB} (em \omega=100), por exemplo em \omega=1000 estará em -20\\ \text{dB}.
Coloque a marcação do ganho em baixa frequência: em \omega=1 está 20\\ \text{dB}; em \omega=10 está 0\\ \text{dB}; em \omega=100 está 0\\ \text{dB}.
Fase:
Trace uma linha horizontal em -90^\circ até \omega=1.
Entre \omega=1 e \omega=10 desenhe uma rampa linear (em eixo log) subindo de -90^\circ até -45^\circ.
Entre \omega=10 e \omega=100 mantenha aproximadamente -45^\circ.
Entre \omega=100 e \omega=1000 desenhe uma rampa linear descendo de -45^\circ até -90^\circ.
Para \omega>1000 mantenha -90^\circ.
Rotule claramente os pontos \omega=1,10,100,1000 e os níveis em dB/fase indicados para conferência rápida durante a prova.
Passo 6
Pequena dica final e incentivo: ao esboçar rapidamente na prova, priorize colocar as frequências de canto, as inclinações (±20 dB/dec) e os níveis nos cantos (por exemplo \,0\\ \text{dB} em \omega=10 e \omega=100). Para a fase, use as regras das duas décadas por 90^\circ. Se ficar nervoso, desenhe primeiro a magnitude (é mais direto) e depois some mentalmente as fases dos fatores (integrador já dá −90°, então é só ajustar com os ramps do zero e do polo). Força — você consegue!
Resposta
Magnitude (assintótica): \omega<10: slope -20\\ \text{dB/dec}, passando por 20\\ \text{dB} em \omega=1 e por 0\\ \text{dB} em \omega=10.\n 10<\omega<100: slope 0\\ \text{dB/dec}, nível \approx 0\\ \text{dB}.\n \omega>100: slope -20\\ \text{dB/dec}, partindo de 0\\ \text{dB} em \omega=100 (em \omega=1000 fica \approx -20\\ \text{dB}).
Fase (assintótica): \omega<1:\varphi\approx -90^\circ.\n 1<\omega<10: rampa linear (log-scale) de -90^\circ até -45^\circ em \omega=10.\n 10<\omega<100:\varphi\approx -45^\circ.\n 100<\omega<1000: rampa linear (log-scale) de -45^\circ até -90^\circ em \omega=1000.\n \omega>1000:\varphi\approx -90^\circ.