Exercício 1: Esboce os diagramas assintóticos de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus) das seguintes funções de transferência.
\quad H(s)=\frac{s}{(s+1)(s+10)\left(s^{2}+2 s+10000\right)}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar os diagramas assintóticos de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus) para
H(s)=\frac{s}{(s+1)(s+10)\left(s^{2}+2 s+10000\right)}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Zero em s=0 (fator s, ordem 1).
  • Polos reais simples em s=-1 e s=-10 (cantidades e localizações dadas pelos fatores (s+1) e (s+10)).
  • Par de polos complexos conjugados vindos de s^{2}+2s+10000. Deste polinômio extraímos: \omega_n=\sqrt{10000}=100,\qquad 2\zeta\omega_n=2\Rightarrow \zeta=\frac{2}{2\omega_n}=\frac{1}{100}=0,01.
  • Frequências de canto (breakpoints) importantes: \omega=0 (zero de origem), \omega=1, \omega=10 e \omega=100.

Passo 2

Como vamos proceder (metodologia prática, sem termos a “matéria” explicitamente): decomponho H(s) em fatores elementares e somo as contribuições de magnitude (em dB) e de fase de cada fator. Fórmulas básicas que usaremos:
  • Magnitude em dB: \;20\log_{10}|H(j\omega)|\; e, por linearidade em dB, a contribuição total é soma das contribuições dos fatores.
  • Fase total é soma das fases de cada fator (em graus).
    Vou explicar detalhe a detalhe cada fator e como ele contribui com um segmento assintótico para magnitude e uma rampa para a fase.

Passo 3

Contribuições dos fatores para a magnitude (regras assintóticas padrão):
  • Fator s (zero na origem): para s=j\omega temos |s|=\omega. Em dB: \text{contribuição do zero em origem}:\quad 20\log_{10}\omega,çãou seja, uma reta com inclinação +20 dB/decade válida em toda a faixa (começando tendendo a -\infty quando \omega\to0).
  • Polo em (s+1) (frequência de canto \omega=1): fator de primeira ordem. Assintoticamente:
    • para \omega\ll1: contribuição \approx 0 dB (sem inclinação),
    • para \omega\gg1: contribuição \approx -20\log_{10}(\omega/1)=-20\log_{10}\omega (inclinação -20 dB/dec).
  • Polo em (s+10) (frequência de canto \omega=10): análogo ao anterior:
    • para \omega\ll10: 0 dB,
    • para \omega\gg10: -20\log_{10}(\omega/10) (mais -20 dB/dec a partir de \omega=10).
  • Polo de segunda ordem s^{2}+2s+10000 (natural \omega_n=100, amortecimento \zeta=0,01):
    • para \omega\ll100: contribuição assintótica \approx 0 dB,
    • para \omega\gg100: contribuição \approx -40\log_{10}(\omega/100) (inclinação -40 dB/dec a partir de \omega=100).
      Observação importante (que afeta interpretação prática): \zeta=0,01 é muito pequeno (Q grande), portanto o comportamento real de magnitude perto de \omega\approx100 pode apresentar um pico de ressonância acentuado que não é capturado pela linha assintótica simples. Vou comentar isso mais adiante.

Passo 4

Construção assintótica da magnitude total (somando os comportamentos acima):
  • Para \omega muito pequeno (próximo de 0): apenas o zero na origem domina, logo a inclinação inicial é +20 dB/dec.
  • A cada frequência de canto acrescentamos/subtraímos a inclinação correspondente:
    • Em \omega=1: aparece o polo em s+1, que reduz a inclinação em 20 dB/dec. Logo:
      • faixa \omega<1: inclinação +20 dB/dec.
      • faixa 1<\omega<10: inclinação +20-20=0 dB/dec (reta horizontal).
    • Em \omega=10: aparece o polo em s+10, reduzindo mais 20 dB/dec:
      • faixa 10<\omega<100: inclinação +20-20-20=-20 dB/dec.
    • Em \omega=100: aparece o par de polos de segunda ordem, reduzindo mais 40 dB/dec:
      • faixa \omega>100: inclinação +20-20-20-40=-60 dB/dec.
        Resumo das inclinações assintóticas por faixa:
  • \omega<1: +20 dB/dec,
  • 1<\omega<10: 0 dB/dec (reta horizontal),
  • 10<\omega<100: -20 dB/dec,
  • \omega>100: -60 dB/dec.
    Estas são as retas que você desenha no diagrama de magnitude (e as interceptações verticais devem ser ajustadas para continuidade nos cantos, segundo o método clássico).

Passo 5

Como traçar na prática (âncora das retas): para esboço assintótico basta:
  • traçar uma reta com inclinação +20 dB/dec até \omega=1,
  • a partir de \omega=1 diminuir a inclinação em 20 dB/dec (ficando plana entre 1 e 10),
  • em \omega=10 diminuir mais 20 dB/dec (ficando -20 dB/dec entre 10 e 100),
  • em \omega=100 diminuir mais 40 dB/dec (ficando -60 dB/dec para além de 100).
    Observação numérica rápida (para dar noção de ordens): calculei aproximadamente os valores exatos em duas frequências:
  • em \omega=1 a magnitude exata é muito pequena (cerca de -103 dB), mostrando que o sistema é fortemente atenuante em baixa frequência;
  • em \omega=100 a magnitude exata (avaliando H(j100)) dá cerca de -86 dB. Porém, por causa do pequeno \zeta, o pico real próximo de \omega\approx100 pode ser sensivelmente maior que a linha assintótica (pico de ressonância de alta Q).

Passo 6

Contribuições de fase dos fatores (regras assintóticas):
  • Zero em origem s: fase constante +90^\circ para todas as frequências (fator j\omega tem ângulo +90^\circ).
  • Polo em (s+1) (frequência de canto \omega=1): fase transita de 0^\circ para -90^\circ aproximadamente entre \omega=0,1 e \omega=10, com -45^\circ em \omega=1.
  • Polo em (s+10) ( \omega=10): fase transita de 0^\circ para -90^\circ aproximadamente entre \omega=1 e \omega=100, com -45^\circ em \omega=10.
  • Polo de segunda ordem ( \omega_n=100,\\ \zeta=0,01): contribui com transição de 0^\circ para -180^\circ aproximadamente entre \omega=10 e \omega=1000, com -90^\circ em \omega=100. Porque \zeta é pequeno, a queda de fase real será bem rápida próximo de \omega=100, mas a assíntota linear típica de Bode trata como uma rampa total de -180^\circ distribuída logaritmicamente entre uma década abaixo e uma acima de \omega_n.

Passo 7

Soma das fases (valores assintóticos em pontos-chave — bom para esboçar):
Vamos somar as contribuições aproximadas em frequências típicas:
  • Para \omega\ll1 (por exemplo \omega=0,1):
    • zero em origem: +90^\circ,
    • polos ainda praticamente 0^\circ,
    • total \approx +90^\circ.
  • Em \omega=1:
    • zero: +90^\circ,
    • polo (s+1): -45^\circ,
    • polo (s+10): 0^\circ (ainda antes da transição),
    • par de polos em 100: 0^\circ,
    • total \approx +90-45=+45^\circ.
  • Em \omega=10:
    • zero: +90^\circ,
    • polo em 1: -90^\circ (já completou sua transição),
    • polo em 10: -45^\circ,
    • par em 100: ainda próximo de 0^\circ a -pouco,
    • total \approx +90-90-45=-45^\circ.
  • Em \omega=100:
    • zero: +90^\circ,
    • polo 1: -90^\circ,
    • polo 10: -90^\circ,
    • par em 100: -90^\circ (meio da transição de -180°),
    • total \approx 90-90-90-90=-180^\circ.
  • Em \omega\gg100 (por ex. \omega=1000):
    • zero: +90^\circ,
    • polo 1: -90^\circ,
    • polo 10: -90^\circ,
    • par em 100: -180^\circ,
    • total \approx 90-90-90-180=-270^\circ.
      Esses pontos dão os valores que você coloca e liga por retas (rampas log-lineares) nas regiões de transição para obter o esboço assintótico da fase.

Passo 8

Comentários práticos e sobre ressonância:
  • Porque \zeta=0,01 (Q=1/(2 \zeta) = 50) o par de polos em \omega=100 é muito pouco amortecido — o diagrama de magnitude real (não-assintótico) mostrará um pico de ressonância pronunciado próximo de \omega\approx100. A linha assintótica a -40 dB/dec para esse polo de segunda ordem não captura esse pico; portanto, no esboço final eu desenho a assíntota e acrescento uma indicação de pico na região ao redor de \omega=100.
  • A fase real também mudará mais abruptamente próximo de \omega=100 do que a rampa assintótica linearizada sugere.

Passo 9

Instruções de desenho final (passo-a-passo rápido para o esboço):
  1. Eixo horizontal em escala log (frequências: marcar 0,1; 1; 10; 100; 1000).
  2. Magnitude:
    • desenhar reta com inclinação +20 dB/dec até \omega=1,
    • em \omega=1 reduzir inclinação para 0 dB/dec até \omega=10,
    • em \omega=10 passar para -20 dB/dec até \omega=100,
    • em \omega=100 passar para -60 dB/dec para \omega>100,
    • adicionar, se desejar, um pequeno pico perto de \omega=100 devido ao baixo amortecimento do segundo-ordem.
  3. Fase:
    • começar em +90^\circ para \omega\ll1,
    • entre 0,1 e 10 fazer a rampa do pólo em 1 (de 0^\circ a -90^\circ), então em \omega=1 a fase vale cerca de +45^\circ,
    • entre 1 e 100 fazer a rampa do pólo em 10 (de 0^\circ a -90^\circ), em \omega=10 a fase vale cerca de -45^\circ,
    • entre 10 e 1000 fazer a rampa do par de polos de segunda ordem (de 0^\circ a -180^\circ), em \omega=100 a fase decresce mais acentuadamente e passa por cerca de -180^\circ,
    • para \omega\gg100 a fase tende a -270^\circ.
  4. Ajuste de continuidade nas transições (desenhar segmentos conectados de forma contínua nos cantos).

Resposta

Magnitude (assintótica): \omega<1: inclinação +20 dB/dec; 1<\omega<10: 0 dB/dec; 10<\omega<100: -20 dB/dec; \omega>100: -60 dB/dec. (Cantros em \omega=1,10,100; observar pico real perto de \omega\approx100 por \zeta=0,01.)
Fase (assintótica): \omega\ll1:\;+90^\circ; \omega\approx1:\; \approx+45^\circ; \omega\approx10:\;\approx-45^\circ; \omega\approx100:\;\approx-180^\circ; \omega\gg100:\;\to -270^\circ. (Transições: pole em 1 gera 0→ -90^\circ entre 0,1 e 10; pole em 10 gera 0→ -90^\circ entre 1 e 100; par 2ª ordem em 100 gera 0→ -180^\circ entre 10 e 1000.)

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