Exercício 1: Esboce os diagramas assintóticos de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus) das seguintes funções de transferência.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar os diagramas assintóticos de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus) para
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Zero em
(fator , ordem 1). - Polos reais simples em
e (cantidades e localizações dadas pelos fatores e ). - Par de polos complexos conjugados vindos de
. Deste polinômio extraímos: - Frequências de canto (breakpoints) importantes:
(zero de origem), , e .
Passo 2
Como vamos proceder (metodologia prática, sem termos a “matéria” explicitamente): decomponho
em fatores elementares e somo as contribuições de magnitude (em dB) e de fase de cada fator. Fórmulas básicas que usaremos:
- Magnitude em dB:
e, por linearidade em dB, a contribuição total é soma das contribuições dos fatores. - Fase total é soma das fases de cada fator (em graus).
Vou explicar detalhe a detalhe cada fator e como ele contribui com um segmento assintótico para magnitude e uma rampa para a fase.
Passo 3
Contribuições dos fatores para a magnitude (regras assintóticas padrão):
- Fator
(zero na origem): para temos . Em dB: ou seja, uma reta com inclinação dB/decade válida em toda a faixa (começando tendendo a quando ). - Polo em
(frequência de canto ): fator de primeira ordem. Assintoticamente: - para
: contribuição dB (sem inclinação), - para
: contribuição (inclinação dB/dec).
- para
- Polo em
(frequência de canto ): análogo ao anterior: - para
: dB, - para
: (mais dB/dec a partir de ).
- para
- Polo de segunda ordem
(natural , amortecimento ): - para
: contribuição assintótica dB, - para
: contribuição (inclinação dB/dec a partir de ).
Observação importante (que afeta interpretação prática):é muito pequeno (Q grande), portanto o comportamento real de magnitude perto de pode apresentar um pico de ressonância acentuado que não é capturado pela linha assintótica simples. Vou comentar isso mais adiante.
- para
Passo 4
Construção assintótica da magnitude total (somando os comportamentos acima):
- Para
muito pequeno (próximo de ): apenas o zero na origem domina, logo a inclinação inicial é dB/dec. - A cada frequência de canto acrescentamos/subtraímos a inclinação correspondente:
- Em
: aparece o polo em , que reduz a inclinação em dB/dec. Logo: - faixa
: inclinação dB/dec. - faixa
: inclinação dB/dec (reta horizontal).
- faixa
- Em
: aparece o polo em , reduzindo mais dB/dec: - faixa
: inclinação dB/dec.
- faixa
- Em
: aparece o par de polos de segunda ordem, reduzindo mais dB/dec: - faixa
: inclinação dB/dec.
Resumo das inclinações assintóticas por faixa:
- faixa
- Em
-
+20 dB/dec, -
0 dB/dec (reta horizontal), -
-20 dB/dec, -
-60 dB/dec.
Estas são as retas que você desenha no diagrama de magnitude (e as interceptações verticais devem ser ajustadas para continuidade nos cantos, segundo o método clássico).
Passo 5
Como traçar na prática (âncora das retas): para esboço assintótico basta:
- traçar uma reta com inclinação
dB/dec até , - a partir de
diminuir a inclinação em 20 dB/dec (ficando plana entre 1 e 10), - em
diminuir mais 20 dB/dec (ficando -20 dB/dec entre 10 e 100), - em
diminuir mais 40 dB/dec (ficando -60 dB/dec para além de 100).
Observação numérica rápida (para dar noção de ordens): calculei aproximadamente os valores exatos em duas frequências: - em
a magnitude exata é muito pequena (cerca de dB), mostrando que o sistema é fortemente atenuante em baixa frequência; - em
a magnitude exata (avaliando ) dá cerca de dB. Porém, por causa do pequeno , o pico real próximo de pode ser sensivelmente maior que a linha assintótica (pico de ressonância de alta Q).
Passo 6
Contribuições de fase dos fatores (regras assintóticas):
- Zero em origem
: fase constante para todas as frequências (fator tem ângulo ). - Polo em
(frequência de canto ): fase transita de para aproximadamente entre e , com em . - Polo em
( ): fase transita de para aproximadamente entre e , com em . - Polo de segunda ordem (
): contribui com transição de para aproximadamente entre e , com em . Porque é pequeno, a queda de fase real será bem rápida próximo de , mas a assíntota linear típica de Bode trata como uma rampa total de distribuída logaritmicamente entre uma década abaixo e uma acima de .
Passo 7
Soma das fases (valores assintóticos em pontos-chave — bom para esboçar):
Vamos somar as contribuições aproximadas em frequências típicas:
Vamos somar as contribuições aproximadas em frequências típicas:
- Para
(por exemplo ): - zero em origem:
, - polos ainda praticamente
, - total
.
- zero em origem:
- Em
: - zero:
, - polo
: , - polo
: (ainda antes da transição), - par de polos em 100:
, - total
.
- zero:
- Em
: - zero:
, - polo em 1:
(já completou sua transição), - polo em 10:
, - par em 100: ainda próximo de
a pouco, - total
.
- zero:
- Em
: - zero:
, - polo 1:
, - polo 10:
, - par em 100:
(meio da transição de -180°), - total
.
- zero:
- Em
(por ex. ): - zero:
, - polo 1:
, - polo 10:
, - par em 100:
, - total
.
Esses pontos dão os valores que você coloca e liga por retas (rampas log-lineares) nas regiões de transição para obter o esboço assintótico da fase.
- zero:
Passo 8
Comentários práticos e sobre ressonância:
- Porque
(Q=1/(2 ) = 50) o par de polos em é muito pouco amortecido — o diagrama de magnitude real (não-assintótico) mostrará um pico de ressonância pronunciado próximo de . A linha assintótica a -40 dB/dec para esse polo de segunda ordem não captura esse pico; portanto, no esboço final eu desenho a assíntota e acrescento uma indicação de pico na região ao redor de . - A fase real também mudará mais abruptamente próximo de
do que a rampa assintótica linearizada sugere.
Passo 9
Instruções de desenho final (passo-a-passo rápido para o esboço):
- Eixo horizontal em escala log (frequências: marcar 0,1; 1; 10; 100; 1000).
- Magnitude:
- desenhar reta com inclinação
dB/dec até , - em
reduzir inclinação para dB/dec até , - em
passar para dB/dec até , - em
passar para dB/dec para , - adicionar, se desejar, um pequeno pico perto de
devido ao baixo amortecimento do segundo-ordem.
- desenhar reta com inclinação
- Fase:
- começar em
para , - entre
e fazer a rampa do pólo em 1 (de a ), então em a fase vale cerca de , - entre
e fazer a rampa do pólo em 10 (de a ), em a fase vale cerca de , - entre
e fazer a rampa do par de polos de segunda ordem (de a ), em a fase decresce mais acentuadamente e passa por cerca de , - para
a fase tende a .
- começar em
- Ajuste de continuidade nas transições (desenhar segmentos conectados de forma contínua nos cantos).
Resposta
Magnitude (assintótica):
inclinação
dB/dec;
dB/dec;
dB/dec;
dB/dec. (Cantros em
; observar pico real perto de
por
.)
Fase (assintótica):
;
;
;
;
. (Transições: pole em 1 gera 0→
entre
e
; pole em 10 gera 0→
entre
e
; par 2ª ordem em 100 gera 0→
entre
e
.)