Exercício 4:
Uma esfera não condutora sólida de raio
tem densidade de carga constante
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a) Calcule o campo elétrico no eixo z para
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a) Calcule o campo elétrico no eixo z para
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera não condutora sólida com raio $ R $ e densidade de carga constante $ \rho_{0} $. A pergunta é para calcular o campo elétrico no eixo $ z $ para $ z > R $. Isso está relacionado ao estudo do campo elétrico gerado por distribuições de carga, usando conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss e a superposição de campos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular o campo elétrico devido a uma distribuição de carga, podemos usar a Lei de Coulomb ou a Lei de Gauss. No caso de simetrias específicas, a Lei de Gauss simplifica bastante os cálculos. Como estamos lidando com uma esfera de carga uniforme, que tem simetria esférica, a Lei de Gauss será muito útil.
Passo 3
A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do meio ($ \varepsilon_{0} $). Matematicamente:
Passo 4
Para $ z > R $, estamos fora da esfera. Devido à simetria esférica, podemos considerar que o campo elétrico $ \vec{E} $ tem a mesma direção radial em todos os pontos. Assim, podemos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio $ z $ centrada na mesma origem que a esfera carregada.
Passo 5
Calculando o fluxo elétrico na superfície gaussiana:
onde $ E $ é a magnitude do campo elétrico na superfície da esfera gaussiana.
Passo 6
A carga total $ Q $ dentro da esfera carregada é dada por:
Passo 7
Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 8
Resolvendo para $ E $:
Resposta
Portanto, o campo elétrico no eixo $ z $ para $ z > R $ é dado por: