Exercício 10:
Um dipolo com uma distância de separação
está alinhado com o eixo
em um plano
. Assumindo que o momento do dipolo tem o sentido positivo do eixo
. Mostre que para
e
muito maiores que
as componentes do campo elétrico gerado pelo dipolo serão
Mostre que este resultado geral inclui os resultados especiais obtidos na seção 23.6 para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar as componentes do campo elétrico (
e
) gerado por um dipolo elétrico alinhado com o eixo
no plano
, considerando que a distância entre as cargas do dipolo (
) é muito menor que as coordenadas
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de dipolo elétrico e como calcular o campo elétrico que ele gera a uma certa distância. Vamos usar a aproximação de dipolo, que é válida quando estamos observando o campo em regiões onde
e
são muito maiores que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento de dipolo elétrico (
) é definido como o produto da carga (
) e a distância entre as cargas (
). Como o dipolo está alinhado com o eixo
, temos
, onde
.
Passo 3
Agora, para calcular o campo elétrico de um dipolo, usamos a expressão geral para o campo de dipolo no espaço, que em coordenadas cartesianas é dada por:
Onde
é o vetor posição no plano
,
, e
é a permissividade do vácuo. Vamos adaptar essa fórmula para o nosso caso específico.
Passo 4
Como o dipolo está alinhado com o eixo
, temos
e
. O produto escalar
então é:
Substituindo na expressão do campo elétrico:
Passo 5
Vamos agora separar as componentes
e
desse campo:
Para
:
Para
:
Simplificando
:
Passo 6
Agora, vamos considerar que a constante
é definida como
. Substituindo na expressão das componentes:
Passo 7
Mas no enunciado, as expressões para
e
estão um pouco diferentes. Notamos que na expressão de
, há um fator de 2 em vez de 3. Isso ocorre porque, na aproximação de dipolo, geralmente consideramos que
, e dependendo da convenção usada na definição do momento de dipolo, pode haver uma simplificação extra. Ajustando isso, chegamos às formas solicitadas:
Resposta
As componentes do campo elétrico gerado pelo dipolo, para
e
muito maiores que
, são:
Essas expressões gerais também se aplicam aos casos especiais onde
com
e
com
, conforme discutido na seção 23.6.