Exercício 7. Dê um exemplo de função que:
seja descontínua nos pontos de \mathbb{N};

Passo 1

O enunciado pede: "Dê um exemplo de função que seja descontínua nos pontos de \mathbb{N}".
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: domínio implícito é \mathbb{R} (função real de variável real), o conjunto onde queremos descontinuidade é \mathbb{N}. Não há outras restrições (por exemplo, nada exige continuidade em outros pontos). A tarefa é apenas construir uma função com descontinuidade em todo ponto n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Vou construir uma função muito simples: a função indicadora de \mathbb{N}\). Definimos \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) por \[f(x)= \begin{cases} 1, & x\in\mathbb{N},\\[4pt] 0, & x\notin\mathbb{N}. \end{cases}
Essa função vale 1\] exatamente nos números naturais e \(0 em todos os outros pontos.]

Passo 3

Antes de provar que f é descontínua em cada n\in\mathbb{N}, vamos rever a definição de continuidade em um ponto de forma concreta e fácil de aplicar.
Definição (sequencial, equivalente à epsilon-delta): uma função g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua em a\in\mathbb{R} se, para toda sequência (x_k) com x_k\to a, temos g(x_k)\to g(a). Se existe ao menos uma sequência x_k\to a tal que g(x_k) não converge para g(a), então g é descontínua em a.
Também usamos a definição epsilon-delta: g é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que |x-a|<\delta implica |g(x)-g(a)|<\varepsilon.
Vou aplicar a versão sequencial (mais direta aqui) e, quando útil, comentar a versão epsilon-delta.

Passo 4

Prova de descontinuidade em um n\in\mathbb{N} usando sequência. Fixe n\in\mathbb{N}. Considere a sequência
x_k = n + \frac{1}{k},\qquad k=1,2,3,\dots
Temos x_k\to n quando k\to\infty. Para todo k temos x_k\notin\mathbb{N} (pois x_k não é inteiro), então, pela definição de f,
f(x_k)=0\quad\text{para todo }k.
Portanto f(x_k)\to 0. Mas f(n)=1 por definição (já que n\in\mathbb{N}). Como existe uma sequência x_k\to n cuja imagem converge para 0\neq f(n), pelo critério sequencial f é descontínua em n.
Comentário (epsilon-delta): escolha \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Para qualquer \delta>0 existe x com 0<|x-n|<\delta e x\notin\mathbb{N} (por exemplo x=n+\min(\delta/2,1/2)), para o qual |f(x)-f(n)|=|0-1|=1\ge \tfrac{1}{2}. Logo não existe \delta que satisfaça a condição da continuidade; isto confirma a descontinuidade.

Passo 5

Prova de continuidade em pontos que não são naturais. Seja a\in\mathbb{R} com a\notin\mathbb{N}. Quero mostrar f é contínua em a.
Como a não é inteiro, a distância do ponto a ao conjunto \mathbb{N} é positiva. Uma forma concreta de ver isso: escreva a=\lfloor a\rfloor + \{a\}, onde \{a\}\in(0,1) é a parte fracionária (ou, se a<1, use distância a 1, etc.). Em qualquer caso existe
d:=\min_{k\in\mathbb{N}}|a-k|>0.
Escolha \delta=d. Se |x-a|<\delta então para todo k\in\mathbb{N} temos
|x-k|\ge |a-k|-|x-a|>d-\delta=0,
e, mais precisamente, |x-k|\ge |a-k|-|x-a|>d-d=0, o que garante que x\notin\mathbb{N}. Assim, todo x com |x-a|<\delta satisfaz f(x)=0. Como também f(a)=0 (porque a\notin\mathbb{N}), concluímos que f é constante igual a 0 numa vizinhança de a, logo contínua em a.
Em linguagem epsilon-delta: dado \varepsilon>0 qualquer, escolha \delta=d. Então |x-a|<\delta implica |f(x)-f(a)|=|0-0|=0<\varepsilon. Então f é contínua em a.

Passo 6

Resumo e moral (pra te animar): a função indicadora de \mathbb{N}\), \[f(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb{N},\\[4pt]0,&x\notin\mathbb{N},\end{cases}
é exatamente o exemplo clássico: descontínua em cada n\in\mathbb{N}\] porque você consegue aproximar \(n por reais não inteiros que valem 0, e contínua em todos os outros pontos porque há uma pequena vizinhança sem inteiros onde a função é constante 0. Bem prático para a prova — memorizou e já resolve esse tipo de pedido 😃]

Resposta

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)= \begin{cases} 1, & x\in\mathbb{N},\\[4pt] 0, & x\notin\mathbb{N}. \end{cases}]

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