Exercício 7. Dê um exemplo de função que:
seja descontínua nos pontos de
;
seja descontínua nos pontos de
Passo 1
O enunciado pede: "Dê um exemplo de função que seja descontínua nos pontos de
".
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: domínio implícito é (função real de variável real), o conjunto onde queremos descontinuidade é
. Não há outras restrições (por exemplo, nada exige continuidade em outros pontos). A tarefa é apenas construir uma função com descontinuidade em todo ponto
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: domínio implícito é
Passo 2
Vou construir uma função muito simples: a função indicadora de
Essa função vale
em todos os outros pontos.]
Passo 3
Antes de provar que
é descontínua em cada
, vamos rever a definição de continuidade em um ponto de forma concreta e fácil de aplicar.
Definição (sequencial, equivalente à epsilon-delta): uma função
é contínua em
se, para toda sequência
com
, temos
. Se existe ao menos uma sequência
tal que
não converge para
, então
é descontínua em
.
Também usamos a definição epsilon-delta:
é contínua em
se, para todo
, existe
tal que
implica
.
Vou aplicar a versão sequencial (mais direta aqui) e, quando útil, comentar a versão epsilon-delta.
Passo 4
Prova de descontinuidade em um
usando sequência. Fixe
. Considere a sequência
Temos
quando
. Para todo
temos
(pois
não é inteiro), então, pela definição de
,
Portanto
. Mas
por definição (já que
). Como existe uma sequência
cuja imagem converge para
, pelo critério sequencial
é descontínua em
.
Comentário (epsilon-delta): escolha
. Para qualquer
existe
com
e
(por exemplo
), para o qual
. Logo não existe
que satisfaça a condição da continuidade; isto confirma a descontinuidade.
Passo 5
Prova de continuidade em pontos que não são naturais. Seja
com
. Quero mostrar
é contínua em
.
Como
não é inteiro, a distância do ponto
ao conjunto
é positiva. Uma forma concreta de ver isso: escreva
, onde
é a parte fracionária (ou, se
, use distância a
, etc.). Em qualquer caso existe
Escolha
. Se
então para todo
temos
e, mais precisamente,
, o que garante que
. Assim, todo
com
satisfaz
. Como também
(porque
), concluímos que
é constante igual a
numa vizinhança de
, logo contínua em
.
Em linguagem epsilon-delta: dado
qualquer, escolha
. Então
implica
. Então
é contínua em
.
Passo 6
Resumo e moral (pra te animar): a função indicadora de
é exatamente o exemplo clássico: descontínua em cada
por reais não inteiros que valem
, e contínua em todos os outros pontos porque há uma pequena vizinhança sem inteiros onde a função é constante
. Bem prático para a prova — memorizou e já resolve esse tipo de pedido 😃]