Calcule os seguintes limites ou mostre que a função não admite tal limite.
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{x^{2} z}{x^{2}+y^{2}+2 z^{2}} (Dica: Utilize o Teorema do Confronto.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \frac{x^{2}z}{x^{2}+y^{2}+2z^{2}}
ou mostrar que esse limite não existe. Informações relevantes que temos:
  • A função é f(x,y,z)=\dfrac{x^{2}z}{x^{2}+y^{2}+2z^{2}}.
  • O ponto onde queremos o limite é (0,0,0).
  • Note que o denominador \;x^{2}+y^{2}+2z^{2}\; é sempre \ge 0 e é zero exatamente no ponto (0,0,0). Portanto a função não está definida no ponto, mas o limite pode existir ao nos aproximarmos dele.

Passo 2

Primeiro passo prático: trabalhar com o valor absoluto da função para tentar aplicar o Teorema do Confronto (squeeze). Calculo o módulo:
\left|\frac{x^{2}z}{x^{2}+y^{2}+2z^{2}}\right| =\frac{x^{2}|z|}{x^{2}+y^{2}+2z^{2}}.
Agora uma observação simples e muito útil: para todo (x,y,z) vale
x^{2}\le x^{2}+y^{2}+2z^{2},
porque y^{2}\ge0 e 2z^{2}\ge0. Multiplicando essa desigualdade por |z|\ge0 obtemos
x^{2}|z|\le\bigl(x^{2}+y^{2}+2z^{2}\bigr)|z|.

Passo 3

Dividindo a desigualdade do passo anterior pelo denomindor positivo \;x^{2}+y^{2}+2z^{2}\; (isso é válido para pontos distintos de (0,0,0)), chegamos à estimativa
\frac{x^{2}|z|}{x^{2}+y^{2}+2z^{2}}\le |z|.
Portanto
\left|\frac{x^{2}z}{x^{2}+y^{2}+2z^{2}}\right|\le |z|.

Passo 4

Vou agora enunciar rapidamente o Teorema do Confronto (em palavras simples): se temos funções g e h tais que
-g(x,y,z)\le f(x,y,z)\le g(x,y,z)
numa vizinhança do ponto e \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} g(x,y,z)=0, então \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} f(x,y,z)=0. No nosso caso podemos tomar g(x,y,z)=|z|. Pelo passo anterior temos
-\;|z|\le \frac{x^{2}z}{x^{2}+y^{2}+2z^{2}}\le |z|.

Passo 5

Verificamos que
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} |z| = 0,
porque ao aproximar (x,y,z) de (0,0,0) a coordenada z tende a 0 e, portanto, seu módulo tende a 0. Como f está “confinada” entre -|z| e |z| e esses limites laterais são 0, pelo Teorema do Confronto concluímos que
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \frac{x^{2}z}{x^{2}+y^{2}+2z^{2}}=0.

Passo 6

Comentário didático curto (pra fixar): a ideia-chave foi notar que o numerador tem um fator x^{2} que é no máximo o próprio denominador; por isso o quociente em valor absoluto fica menor que |z|. Essa técnica — comparar o módulo da função com alguma função simples que tende a zero — é a aplicação típica do Teorema do Confronto em limites multivariáveis. Um exemplo parecido: se tivesse \dfrac{x^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} daria a mesma estimativa \le |z| e também limitaria para 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados