Calcule os seguintes limites ou mostre que a função não admite tal limite. \lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{x^{2} z}{x^{2}+y^{2}+2 z^{2}} (Dica: Utilize o Teorema do Confronto.)
ou mostrar que esse limite não existe. Informações relevantes que temos:
A função é f(x,y,z)=\dfrac{x^{2}z}{x^{2}+y^{2}+2z^{2}}.
O ponto onde queremos o limite é (0,0,0).
Note que o denominador \;x^{2}+y^{2}+2z^{2}\; é sempre \ge 0 e é zero exatamente no ponto (0,0,0). Portanto a função não está definida no ponto, mas o limite pode existir ao nos aproximarmos dele.
Passo 2
Primeiro passo prático: trabalhar com o valor absoluto da função para tentar aplicar o Teorema do Confronto (squeeze). Calculo o módulo:
Agora uma observação simples e muito útil: para todo (x,y,z) vale
x^{2}\le x^{2}+y^{2}+2z^{2},
porque y^{2}\ge0 e 2z^{2}\ge0. Multiplicando essa desigualdade por |z|\ge0 obtemos
x^{2}|z|\le\bigl(x^{2}+y^{2}+2z^{2}\bigr)|z|.
Passo 3
Dividindo a desigualdade do passo anterior pelo denomindor positivo \;x^{2}+y^{2}+2z^{2}\; (isso é válido para pontos distintos de (0,0,0)), chegamos à estimativa
Vou agora enunciar rapidamente o Teorema do Confronto (em palavras simples): se temos funções g e h tais que
-g(x,y,z)\le f(x,y,z)\le g(x,y,z)
numa vizinhança do ponto e \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} g(x,y,z)=0, então \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} f(x,y,z)=0. No nosso caso podemos tomar g(x,y,z)=|z|. Pelo passo anterior temos
porque ao aproximar (x,y,z) de (0,0,0) a coordenada z tende a 0 e, portanto, seu módulo tende a 0. Como f está “confinada” entre -|z| e |z| e esses limites laterais são 0, pelo Teorema do Confronto concluímos que
Comentário didático curto (pra fixar): a ideia-chave foi notar que o numerador tem um fator x^{2} que é no máximo o próprio denominador; por isso o quociente em valor absoluto fica menor que |z|. Essa técnica — comparar o módulo da função com alguma função simples que tende a zero — é a aplicação típica do Teorema do Confronto em limites multivariáveis. Um exemplo parecido: se tivesse \dfrac{x^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} daria a mesma estimativa \le |z| e também limitaria para 0.