Exercício 7. Dê um exemplo de função que:
seja descontínuas em todos os pontos de
;
seja descontínuas em todos os pontos de
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de função descontínua em todos os pontos de
. As informações relevantes são: domínio da função é
e a função deve ser descontínua em cada ponto
.
Passo 2
Uma função clássica que atende a esses requisitos é a função de Dirichlet, definida como:
Ou seja,
vale
em números racionais e
em números irracionais. O objetivo agora é demonstrar que essa função é descontínua em todo ponto de
.]
Passo 3
Para demonstrar a descontinuidade, é crucial utilizar a propriedade de densidade dos números racionais
e irracionais
em
. Isso significa que, em qualquer intervalo aberto
com
, existe pelo menos um número racional e um número irracional.
Prova da densidade de
em
: Dado um intervalo
com
, podemos escolher um inteiro
tal que
. Definindo
, temos
e
, o que implica
. Portanto,
e é racional.
Prova da densidade dos irracionais em
: Dado um intervalo
, sabemos que existe um racional
. Escolhendo um inteiro
tal que
, o número
pertence a
e é irracional. Assim, os irracionais também são densos.
Passo 4
Dado um ponto arbitrário
, qualquer intervalo aberto
contém tanto números racionais (onde
) quanto números irracionais (onde
), devido à densidade demonstrada no passo anterior.
Passo 5
Para provar a descontinuidade de
em
, utilizaremos a definição
-
de continuidade. A função
é contínua em
se, para todo
, existe
tal que sempre que
então
.
Escolhemos
. Assumindo, por contradição, que exista um
que satisfaça a condição de continuidade para esse
, sabemos que no intervalo
existem:
- um racional
com ; - um irracional
com .
Assim,
. Pelo menos um desses pontos está a uma distância menor que
de
. Seja
um desses pontos tal que
. Então
é ou
ou
. Em qualquer caso, a diferença entre 0 e 1 aparece como possível valor de
em pontos próximos de
. Isso contradiz a exigência
para todos
com
, já que
. Portanto, não existe
que satisfaça a definição de continuidade, e
não é contínua em
.
Passo 6
Como
foi um ponto arbitrário de
, a demonstração é válida para todo
. Portanto, a função de Dirichlet
é descontínua em cada ponto de
. A descontinuidade ocorre porque qualquer vizinhança em
sempre contém racionais e irracionais, e como
atribui valores diferentes a esses dois tipos de números, o valor da função
Passo 7
pula
Passo 8
dentro de qualquer vizinhança, impedindo a continuidade.