Exercício 7. Dê um exemplo de função que:
seja descontínuas em todos os pontos de \mathbb{R};

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função descontínua em todos os pontos de \mathbb{R}. As informações relevantes são: domínio da função é \mathbb{R} e a função deve ser descontínua em cada ponto a\in\mathbb{R}.

Passo 2

Uma função clássica que atende a esses requisitos é a função de Dirichlet, definida como:
f(x)=\begin{cases} 1, & \text{se } x\in\mathbb{Q},\\[4pt] 0, & \text{se } x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \end{cases}
Ou seja, f vale 1 em números racionais e 0 em números irracionais. O objetivo agora é demonstrar que essa função é descontínua em todo ponto de \mathbb{R}.]

Passo 3

Para demonstrar a descontinuidade, é crucial utilizar a propriedade de densidade dos números racionais \mathbb{Q} e irracionais \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} em \mathbb{R}. Isso significa que, em qualquer intervalo aberto (a,b) com a<b, existe pelo menos um número racional e um número irracional.
Prova da densidade de \mathbb{Q} em \mathbb{R}: Dado um intervalo (a,b) com a<b, podemos escolher um inteiro n tal que \frac{1}{n}<b-a. Definindo m=\lfloor na\rfloor+1, temos \frac{m}{n}>a e \frac{m}{n}-a=\frac{m-na}{n}\le \frac{1}{n}<b-a, o que implica \frac{m}{n}<b. Portanto, \frac{m}{n}\in(a,b) e é racional.
Prova da densidade dos irracionais em \mathbb{R}: Dado um intervalo (a,b), sabemos que existe um racional q\in(a,b). Escolhendo um inteiro N tal que \frac{\sqrt{2}}{N}<b-q, o número q+\dfrac{\sqrt{2}}{N} pertence a (q,b)\subset(a,b) e é irracional. Assim, os irracionais também são densos.

Passo 4

Dado um ponto arbitrário a\in\mathbb{R}, qualquer intervalo aberto (a-\delta,a+\delta) contém tanto números racionais (onde f(x)=1) quanto números irracionais (onde f(y)=0), devido à densidade demonstrada no passo anterior.

Passo 5

Para provar a descontinuidade de f em a, utilizaremos a definição \varepsilon- \delta de continuidade. A função f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que |x-a|<\delta então |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Escolhemos \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Assumindo, por contradição, que exista um \delta>0 que satisfaça a condição de continuidade para esse \varepsilon, sabemos que no intervalo (a-\delta,a+\delta) existem:
  • um racional x com f(x)=1;
  • um irracional y com f(y)=0.
Assim, |f(x)-f(y)|=|1-0|=1. Pelo menos um desses pontos está a uma distância menor que \delta de a. Seja z um desses pontos tal que |z-a|<\delta. Então |f(z)-f(a)| é ou |1-f(a)| ou |0-f(a)|. Em qualquer caso, a diferença entre 0 e 1 aparece como possível valor de f em pontos próximos de a. Isso contradiz a exigência |f(x)-f(a)|<\tfrac{1}{2} para todos x com |x-a|<\delta, já que |1-0|=1\ge \tfrac{1}{2}. Portanto, não existe \delta que satisfaça a definição de continuidade, e f não é contínua em a.

Passo 6

Como a foi um ponto arbitrário de \mathbb{R}, a demonstração é válida para todo a\in\mathbb{R}. Portanto, a função de Dirichlet f é descontínua em cada ponto de \mathbb{R}. A descontinuidade ocorre porque qualquer vizinhança em \mathbb{R} sempre contém racionais e irracionais, e como f atribui valores diferentes a esses dois tipos de números, o valor da função

Passo 7

pula

Passo 8

dentro de qualquer vizinhança, impedindo a continuidade.

Resposta

f(x)=\begin{cases} 1, & \text{se } x\in\mathbb{Q},\\[4pt] 0, & \text{se } x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \end{cases}]

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