Exercício 7 Nos exercícios abaixo, esboce as curvas de nível da função correspondentes aos valores dados de z.
f(x, y)=\sqrt{16-x^{2}-y^{2}} ; z=0,1,2,3,4

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\sqrt{16 - x^{2} - y^{2}}
e pede para esboçar as curvas de nível correspondentes aos valores de z=0,1,2,3,4. O conteúdo aqui é entender que a curva de nível de nível z=c é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c.

Passo 2

Para obter a curva de nível associada a um valor fixo z, fazemos
\sqrt{16 - x^{2} - y^{2}} = z.
Elevando ao quadrado (lembrando que z\ge0 pois é uma raiz quadrada), temos
16 - x^{2} - y^{2} = z^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + y^{2} = 16 - z^{2}.
Assim, cada curva de nível é um círculo de centro na origem e raio \sqrt{16 - z^{2}}, desde que 16 - z^{2}\ge0.

Passo 3

Agora determinamos o raio para cada valor de z:
Para z=0 temos x^{2}+y^{2}=16, raio 4.
Para z=1 temos x^{2}+y^{2}=15, raio \sqrt{15}.
Para z=2 temos x^{2}+y^{2}=12, raio 2\sqrt{3}.
Para z=3 temos x^{2}+y^{2}=7, raio \sqrt{7}.
Para z=4 temos x^{2}+y^{2}=0, raio 0 (apenas o ponto (0,0)).

Passo 4

No esboço, basta desenhar no plano xy círculos concêntricos de raios decrescentes:
o maior é o círculo de raio 4 para z=0, depois um de raio \sqrt{15}, em seguida 2\sqrt{3}, depois \sqrt{7} e, por fim, o ponto na origem para z=4. Cada curva corresponde à interseção da superfície com o plano z= constante.

Resposta

As curvas de nível são dadas por
\begin{aligned} z=0:&\quad x^{2}+y^{2}=16,\\\ z=1:&\quad x^{2}+y^{2}=15,\\\ z=2:&\quad x^{2}+y^{2}=12,\\\ z=3:&\quad x^{2}+y^{2}=7,\\\ z=4:&\quad x^{2}+y^{2}=0. \end{aligned}

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