Exercício 7 Nos exercícios abaixo, esboce as curvas de nível da função correspondentes aos valores dados de z.
f(x, y)=e^{x}-y ; z=-2,-1,0,1,2

Passo 1

O enunciado pede esboçar as curvas de nível da função f(x,y)=e^x - y para os valores z=-2,-1,0,1,2. Vamos usar o conceito de curva de nível, que é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=z.

Passo 2

Igualamos a função ao parâmetro z e isolamos y:
e^x - y = z
\Longrightarrow\quad y = e^x - z.

Passo 3

Para cada valor de z, obtemos as seguintes equações de curvas de nível:
y = e^x + 2 \quad(z=-2),\quad y = e^x + 1 \quad(z=-1),\quad y = e^x \quad(z=0),
y = e^x - 1 \quad(z=1),\quad y = e^x - 2 \quad(z=2).

Passo 4

Cada uma dessas curvas é o gráfico da exponencial y=e^x deslocada verticalmente em -z unidades. São todas crescentes e convexas, com assíntota horizontal y=-z quando x\to-\infty e tendendo a +\infty para x\to+\infty. Valores maiores de z deslocam a curva para baixo.

Resposta

As curvas de nível são
y = e^x + 2,\quad y = e^x + 1,\quad y = e^x,\quad y = e^x - 1,\quad y = e^x - 2.

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