Exercício 2.7 Existe \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{y} ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{y}.
O conteúdo aqui é análise de limite de função de duas variáveis e a ferramenta básica é testar diferentes curvas de aproximação a (0,0): se o valor do limite varia conforme a curva, o limite não existe.

Passo 2

Vamos aproximar por retas do tipo y = m x, com m\neq 0. Substituindo em \frac{x^{2}+y^{2}}{y} temos
\frac{x^{2} + (m x)^{2}}{m x} = \frac{x^{2}(1 + m^{2})}{m x} = \frac{1 + m^{2}}{m}\,x.
Como x\to 0, isso tende a
\frac{1 + m^{2}}{m}\,x \;\longrightarrow\; 0.

Passo 3

Agora aproximamos por uma parábola, por exemplo y = x^{2}. Substituindo em \frac{x^{2}+y^{2}}{y}
\frac{x^{2} + (x^{2})^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2} + x^{4}}{x^{2}} = 1 + x^{2},
que, ao levar x\to 0, tende a
1 + x^{2} \;\longrightarrow\; 1.

Passo 4

Como pela reta y=mx o limite dá 0 e pela parábola y=x^{2} o limite dá 1, os resultados são diferentes. Portanto não há valor único para o limite.

Resposta

O limite não existe.

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