Exercício 2.6 Existe \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4}-y^{2}}{x^{4}+y^{2}} ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{4}-y^{2}}{x^{4}+y^{2}}. Como estamos em duas variáveis, a existência do limite exige que, ao nos aproximarmos de (0,0) por qualquer caminho, o valor convirja para a mesma constante. Vamos testar trajetórias diferentes no plano.

Passo 2

Ao longo do eixo x (isto é, tomando y=0), a função fica
f(x,0) = \frac{x^{4}-0}{x^{4}+0} = 1
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\lim_{(x,0)\to(0,0)} f(x,0) = 1.

Passo 3

Ao longo do eixo y (isto é, tomando x=0), a função fica
f(0,y) = \frac{0 - y^{2}}{0 + y^{2}} = -1
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\lim_{(0,y)\to(0,0)} f(0,y) = -1.

Passo 4

Como encontramos duas trajetórias que fornecem limites diferentes 1 e -1, não há valor único para o limite. Portanto, ele não existe.

Resposta

O limite não existe.

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