Exercício 8. Explique por que \pi^{\cos x}>\frac{1}{4} para todo x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \pi^{\cos x}>\tfrac{1}{4} para todo x\in\mathbb{R}. Para isso, vamos usar que a função
f(t)=\pi^t
é estritamente crescente (pois \pi>1) e que o cosseno satisfaz \cos x\in[-1,1].

Passo 2

Como \cos x\in[-1,1] e f é crescente, temos
\pi^{\cos x}\;\ge\;\pi^{-1}.

Passo 3

Sabemos que \pi\approx3{,}14<4, logo
\pi^{-1}=\frac{1}{\pi}>\frac{1}{4}.

Passo 4

Combinando as desigualdades anteriores, obtemos
\pi^{\cos x}\;\ge\;\pi^{-1}>\frac{1}{4},
o que prova que \pi^{\cos x}>\tfrac{1}{4} para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

A desigualdade vale porque
\pi^{\cos x}\ge\pi^{-1}>\frac{1}{4}.

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