Exercício 2.1 Um filtro passa-baixas RC de primeira ordem é construído utilizando um resistor R=1,5 k \Omega e um capacitor C=100 n F. Determine a frequência de corte (meia potência) desse filtro em hertz (Hz).

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: determinar a frequência de corte (meia potência) do filtro passa-baixas RC em hertz.
  • Dados fornecidos:
    • Resistor: R=1{,}5\\ \text{k}\Omega.
    • Capacitor: C=100\\ \text{nF}.

Passo 2

Entender o circuito e a definição da frequência de corte.
Um filtro passa-baixas RC de primeira ordem é simplesmente um divisor de tensão em frequência: o resistor R em série com o capacitor C, e a saída é a tensão no capacitor. Para analisar em regime senoidal, usamos as impedâncias:
Z_R = R,\qquad Z_C = \frac{1}{j\omega C},
onde \omega é a frequência angular ( \omega=2\pi f) e j é a unidade imaginária.
A função de transferência (ganho complexo) do circuito, saída sobre entrada, é a fração do divisor de tensão:
H(j\omega)=\frac{Z_C}{R+Z_C}=\frac{\tfrac{1}{j\omega C}}{R+\tfrac{1}{j\omega C}}=\frac{1}{1+j\omega R C}.

Passo 3

Definir a condição da frequência de corte e obter a fórmula.
A magnitude do ganho é
|H(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega R C)^2}}.
A frequência de corte (ou de meia potência, também chamada de -3\\ \text{dB} ) é definida como a frequência onde a potência entregue à carga é metade da potência em baixas frequências. Como a potência é proporcional a |H|^2, a condição é
|H(j\omega_c)|=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Igualando,
\frac{1}{\sqrt{1+(\omega_c R C)^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}
isso leva a
1+(\omega_c R C)^2=2\quad\Rightarrow\quad (\omega_c R C)^2=1\quad\Rightarrow\quad \omega_c=\frac{1}{R C}.
Como \omega_c=2\pi f_c, obtemos a fórmula prática usada em provas:
f_c=\frac{1}{2\pi R C}.

Passo 4

Converter os dados para unidades do SI e calcular R C.
  • Convertendo R para ohms: R=1{,}5\\ \text{k}\Omega=1500\\ \Omega.
  • Convertendo C para farads: C=100\\ \text{nF}=100\times10^{-9}\\ \text{F}=1{,}0\times10^{-7}\\ \text{F}.
Calcular o produto:
R C = 1500\times 1{,}0\times10^{-7}=1500\times10^{-7}=1{,}5\times10^{-4}\\ \text{s}.

Passo 5

Calcular a frequência de corte com a fórmula.
Usando \displaystyle f_c=\frac{1}{2\pi R C},
f_c=\frac{1}{2\pi\cdot 1{,}5\times10^{-4}}.
Aproximando \pi\approx 3{,}14159265,
2\pi\cdot 1{,}5\times10^{-4}\approx 6{,}2831853\times 1{,}5\times10^{-4}=9{,}42477796\times10^{-4}.
Portanto
f_c\approx\frac{1}{9{,}42477796\times10^{-4}}\approx 1061{,}03\\ \text{Hz}.

Resposta

1061{,}03\\ \text{Hz} \approx 1{,}06\\ \text{kHz}

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