4)(2,5) Um transformador possui as seguintes características nominais: 1,2 \mathrm{KVA}, 300 \mathrm{~V}: 150 \mathrm{~V}, 60 Hz . Devido a uma emergência, esse transformador será usado em um sistema de 50 Hz . Se a densidade de fluxo no núcleo do transformador deve ser mantida igual àquela para 60 Hz e 300 V , Determine então quais os novos valores da potência aparente do transformador e a tensão a ser aplicada no lado de alta tensão. (ENADE 2011) JUSTIFIQUE OS RESULTADOS !!!

Passo 1

O enunciado dá estas informações (vou listar exatamente o que foi informado):
  • Potência aparente nominal: S_{\text{nom}} = 1,2\\ \mathrm{kVA}.
  • Tensões nominais (lado de alta e baixa tensão): 300\\ \mathrm{V} : 150\\ \mathrm{V}.
  • Frequência nominal: f_{\text{nom}} = 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Agora o transformador será usado em f_{\text{novo}} = 50\\ \mathrm{Hz}.
  • Condição exigida: a densidade de fluxo no núcleo deve permanecer igual àquela para 60\\ \mathrm{Hz} e 300\\ \mathrm{V}.
O enunciado pede:
  1. Determinar a nova potência aparente do transformador (quando operando em 50\\ \mathrm{Hz} com o fluxo mantido).
  2. Determinar a tensão que deve ser aplicada no lado de alta tensão (para manter o fluxo igual).

Passo 2

Conceito e fórmula chave: tensão induzida por turno numa malha magnética com excitação senoidal.
Para um enrolamento com N espiras e fluxo magnético máximo por espira \Phi_{\max} (sinusoidal), a força eletromotriz eficaz por espira é proporcional à frequência e ao fluxo. A forma usual da relação é
E_{\text{por turno}} = 4,44\,f\,\Phi_{\max},
onde
  • E_{\text{por turno}} é a tensão eficaz induzida por espira (em volts),
  • f é a frequência (em hertz),
  • \Phi_{\max} é o fluxo magnético máximo por espira (em webers),
  • o fator 4,44 vem da relação entre valor de pico e valor eficaz para seno e da derivada do fluxo senoidal.
Para todo o enrolamento de N espiras a tensão induzida eficaz é
E = 4,44\,f\,N\,\Phi_{\max}.
Explicação em linguagem tranquila: se o número de espiras N e o fluxo máximo \Phi_{\max} permanecem fixos, então a tensão induzida (aproximadamente a tensão de linha aplicada, desprezando pequenas quedas ôhmicas) é diretamente proporcional à frequência: E \propto f.

Passo 3

Aplicando a condição do enunciado (manter a mesma densidade de fluxo \Phi_{\max}) com o mesmo enrolamento:
Como E \propto f, para manter \Phi_{\max} fixo ao reduzir a frequência de 60\\ \mathrm{Hz} para 50\\ \mathrm{Hz} a tensão deve reduzir na mesma proporção:
\frac{V_{\text{novo}}}{V_{\text{nom}}}=\frac{f_{\text{novo}}}{f_{\text{nom}}}.
Substituindo valores (peguei 300\\ \mathrm{V} e 60\\ \mathrm{Hz} do enunciado):
V_{\text{novo}}=300\\ \mathrm{V}\times\frac{50}{60}.
Calculemos:
V_{\text{novo}}=300\times\frac{5}{6}=300\times0,833\ldots=250\\ \mathrm{V}.
Portanto, a tensão a ser aplicada no lado de alta tensão (para manter o fluxo igual) é 250\\ \mathrm{V}.
Observação útil: a tensão do lado de baixa também reduz na mesma razão (porque a razão de espiras não muda), logo 150\\ \mathrm{V}\times\frac{50}{60}=125\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Agora a potência aparente nova. Raciocínio físico-didático (por que a potência aparente muda):
A potência aparente nominal S é dada por
S=V\cdot I,
onde I é a corrente nominal máxima que o enrolamento pode carregar sem aquecer excessivamente (limite térmico determinado pelas perdas ôhmicas e pelo resfriamento). Para o transformador, a capacidade de corrente do enrolamento depende basicamente do projeto do fio, isolação e refrigeração — isto é, para esta alteração de frequência (60 → 50 Hz) e mantendo o fluxo e as condições de aquecimento iguais, a corrente nominal admissível do enrolamento não muda significativamente.
Logo, se a corrente nominal I_{\text{nom}} permanece a mesma e a tensão disponível diminui, a potência aparente nominal passa a ser proporcional à nova tensão:
S_{\text{novo}}=V_{\text{novo}}\cdot I_{\text{nom}}.
Primeiro calculemos a corrente nominal no lado de alta tensão no projeto original (peguei S_{\text{nom}} e V_{\text{nom}} do enunciado):
I_{\text{nom}}=\frac{S_{\text{nom}}}{V_{\text{nom}}}=\frac{1,2\\ \mathrm{kVA}}{300\\ \mathrm{V}}.
Convertendo e calculando:
I_{\text{nom}}=\frac{1200\\ \mathrm{VA}}{300\\ \mathrm{V}}=4\\ \mathrm{A}.
Como I_{\text{nom}} permanece 4\\ \mathrm{A} (mesma capacidade térmica do enrolamento), a nova potência aparente é
S_{\text{novo}}=V_{\text{novo}}\cdot I_{\text{nom}}=250\\ \mathrm{V}\times4\\ \mathrm{A}=1000\\ \mathrm{VA}=1,0\\ \mathrm{kVA}.
Alternativa direta (mesma razão): já que V foi reduzida na razão 50/60, o mesmo vale para S se a corrente limite não muda:
S_{\text{novo}}=S_{\text{nom}}\times\frac{f_{\text{novo}}}{f_{\text{nom}}}=1,2\\ \mathrm{kVA}\times\frac{50}{60}=1,0\\ \mathrm{kVA}.

Passo 5

Verificações e justificativas finais (pra você levar pra prova com confiança):
  • Mantendo o fluxo constante evita saturação do núcleo; por isso a tensão deve cair proporcionalmente à frequência, conforme a fórmula E=4,44 f N\Phi_{\max}.
  • A corrente nominal do enrolamento é limitada pelo aquecimento (perdas ôhmicas) e pela capacidade de resfriamento; essa capacidade não muda só porque a frequência foi reduzida de 60 para 50 Hz (assumindo que as perdas adicionais por efeito de pele, correntes de Foucault em condutores, etc., não se tornem dominantes nesse ajuste). Assim, a corrente nominal permanece aproximadamente igual e o VA nominal escala com a tensão.
  • Conclusão física: reduzir a tensão para 250\\ \mathrm{V} preserva o fluxo; com mesma corrente admissível, o VA nominal cai para 1,0\\ \mathrm{kVA}.
  • Nota prática: na realidade, as perdas no ferro mudam com a frequência e a eficiência também muda; por segurança, fabricantes recomendam limites de operação fora da frequência nominal. Mas para o raciocínio do problema (manter fluxo e avaliar novo VA) as hipóteses usadas são as corretas e suficientes.

Resposta

S_{\text{novo}}=1,0\\ \mathrm{kVA}
V_{\text{alta, novo}}=250\\ \mathrm{V}

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