O cabo de transmissão de energia tem um peso por unidade de comprimento de 0,25 \mathrm{kN} / \mathrm{m}. Se o ponto mais baixo do cabo precisa estar a pelo menos 30 metros acima do solo, determine a tração máxima desenvolvida no cabo e o comprimento entre os pontos A e B .

Passo 1

Vou listar o que o enunciado e a figura nos dão (estou pegando estes números da imagem):
  • Peso do cabo por unidade de comprimento: w_0 = 0{,}25\\ \mathrm{kN/m}.
  • Distância horizontal entre os pontos de apoio A e B: 100\\ \mathrm{m}.
  • Altura do topo do apoio em A acima do solo: 60\\ \mathrm{m}.
  • Altura do topo do apoio em B acima do solo: 40\\ \mathrm{m}.
  • O ponto mais baixo do cabo deve ficar a 30\\ \mathrm{m} acima do solo (logo a flecha mínima é 30\\ \mathrm{m}).
O enunciado pede:
  • Determinar a tração máxima desenvolvida no cabo (ou seja, a maior intensidade da força de tração ao longo do cabo).
  • Determinar o comprimento do cabo entre os pontos A e B.

Passo 2

Modelo físico e escolha de coordenadas (explicação didática do modelo catenário).
  • Um cabo flexível e pesado, suspenso só pela gravidade, toma a forma de uma catenária. A equação padrão, escolhendo a origem x=0 no ponto mais baixo do cabo, é
y(x)=a\operatorname{cosh}\!\biggl(\frac{x}{a}\biggr)+c,
onde a>0 é um parâmetro da catenária, c é uma constante vertical. A função \operatorname{cosh} é a coseno hiperbólica; \operatorname{cosh}(0)=1.
  • O ponto mais baixo fica em x=0. Assim y(0)=a\operatorname{cosh}(0)+c=a+c. Pelo enunciado y(0)=30\\ \mathrm{m}, logo
a+c=30 \quad\Rightarrow\quad c=30-a.
  • O parâmetro a está relacionado à componente horizontal da tração H e ao peso por unidade de comprimento w_0 (peso por unidade de comprimento do cabo, força por metro): vale a relação clássica
a=\frac{H}{w_0}\quad\text{ou}\quad H=w_0\,a.
Explicação curta: H é a componente horizontal da tração, é constante ao longo do cabo; a escolha desse a surge ao integrar a equação de equilíbrio do cabo com densidade linear w_0.

Passo 3

Expressar as alturas nos apoios em termos de a e das abscissas horizontais.
  • Chame x_1 a abscissa positiva correspondente à distância horizontal do ponto mais baixo até o apoio em B, e x_1' a distância até o apoio em A no lado esquerdo. Para simplificar escrevemos x_A=x_1' e x_B=x_1, com x_A+x_B=100\\ \mathrm{m}.
  • As alturas nos apoios são
y(-x_A)=a\operatorname{cosh}\!\biggl(\frac{x_A}{a}\biggr)+c,\qquad y(x_B)=a\operatorname{cosh}\!\biggl(\frac{x_B}{a}\biggr)+c.
Usando c=30-a e os valores dados:
y(-x_A)=60\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad a\operatorname{cosh}\!\biggl(\frac{x_A}{a}\biggr)+30-a=60,
o que simplifica para
a\Bigl(\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{x_A}{a}\bigr)-1\Bigr)=30.
Analogamente, para B ( y(x_B)=40\\ \mathrm{m}):
a\Bigl(\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{x_B}{a}\bigr)-1\Bigr)=10.
Destas equações isolamos as cossenos hiperbólicas:
\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{x_A}{a}\bigr)=1+\frac{30}{a},\qquad \operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{x_B}{a}\bigr)=1+\frac{10}{a}.

Passo 4

Escrever a condição de separação horizontal e a equação para a.
  • Como a distância horizontal total entre apoios é 100\\ \mathrm{m},
x_A+x_B=100.
  • Usando as invertidas das relações acima, escrevemos
x_A=a\operatorname{arccosh}\!\Bigl(1+\frac{30}{a}\Bigr),\qquad x_B=a\operatorname{arccosh}\!\Bigl(1+\frac{10}{a}\Bigr).
  • Portanto a deve satisfazer a equação não linear
F(a):=a\left[\operatorname{arccosh}\!\Bigl(1+\frac{30}{a}\Bigr)+\operatorname{arccosh}\!\Bigl(1+\frac{10}{a}\Bigr)\right]-100=0.
Comentário didático: a função \operatorname{arccosh}(z) é o inverso de \operatorname{cosh} para z\ge1 e pode ser avaliada com a fórmula \operatorname{arccosh}(z)=\ln\!\bigl(z+\sqrt{z^2-1}\bigr).

Passo 5

Resolver numericamente a equação para a (método de tentativa e ajuste).
  • Vamos avaliar F(a) para alguns valores de a até encontrar a raiz. Observação: a>0.
  • Testes rápidos (mostrando alguns valores usados para convergência):
    • Para a=30: calculou-se x_A+x_B\approx63{,}33\\ \mathrm{m} \Rightarrow F(30)\approx -36{,}67 (menor que zero).
    • Para a=60: x_A+x_B\approx91{,}93\\ \mathrm{m} \Rightarrow F(60)\approx -8{,}07.
    • Para a=75: x_A+x_B\approx102{,}7\\ \mathrm{m} \Rightarrow F(75)\approx +2{,}7.
  • A raiz está entre 60 e 75. Refino com tentativas:
    • a=70{,}3 x_A+x_B\approx99{,}92\\ \mathrm{m}.
    • a=70{,}32 x_A+x_B\approx100{,}00\\ \mathrm{m} (convergência aceitável).
  • Assim obtemos, com boa precisão,
a\approx70{,}32\\ \mathrm{m}.
Breve comentário: esse valor foi obtido por busca numérica (bisseção/iteração); em prova basta mostrar o procedimento e uma aproximação numérica razoável.

Passo 6

Determinar as posições horizontais dos apoios relativas ao ponto mais baixo.
  • Calcule os argumentos hiperbólicos:
\operatorname{cosh}\!\biggl(\frac{x_A}{a}\biggr)=1+\frac{30}{a}=1+\frac{30}{70{,}32}\approx1{,}4266,
\operatorname{cosh}\!\biggl(\frac{x_B}{a}\biggr)=1+\frac{10}{a}=1+\frac{10}{70{,}32}\approx1{,}1422.
  • Logo
\frac{x_A}{a}=\operatorname{arccosh}(1{,}4266)\approx0{,}8946,\qquad \frac{x_B}{a}=\operatorname{arccosh}(1{,}1422)\approx0{,}5274.
  • Portanto
x_A\approx a\cdot0{,}8946\approx70{,}32\cdot0{,}8946\approx62{,}90\\ \mathrm{m},
x_B\approx a\cdot0{,}5274\approx70{,}32\cdot0{,}5274\approx37{,}10\\ \mathrm{m},
e x_A+x_B\approx62{,}90+37{,}10=100{,}00\\ \mathrm{m}, confirmado.

Passo 7

Calcular a componente horizontal da tração H.
  • Relação já citada: H=w_0\,a. Substituindo w_0=0{,}25\\ \mathrm{kN/m} e a\approx70{,}32\\ \mathrm{m},
H=w_0\,a\approx0{,}25\cdot70{,}32\\ \mathrm{kN}\approx17{,}58\\ \mathrm{kN}.
Interpretação: H é a tração horizontal constante ao longo do cabo.

Passo 8

Calcular a tração nos apoios e encontrar a tração máxima (explicação da fórmula).
  • A tração em um ponto x do cabo tem magnitude
T(x)=H\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^2}.
Como y'(x)=\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr), obtemos
T(x)=H\operatorname{cosh}\!\biggl(\frac{x}{a}\biggr).
  • Nos apoios (maiores abscissas em magnitude) a tração será maior do que no ponto mais baixo (onde \operatorname{cosh}(0)=1). Calculamos as tração nos dois apoios:
    • Apoio A (lado esquerdo, em x=-x_A): \operatorname{cosh}(\tfrac{x_A}{a})=1+\dfrac{30}{a}. Assim
    T_A=H\operatorname{cosh}\!\biggl(\frac{x_A}{a}\biggr)=H\Bigl(1+\frac{30}{a}\Bigr).Substituindo H=w_0 a, isso é equivalente a T_A=w_0\,(a+30).
    • Apoio B: análogo,
    T_B=H\operatorname{cosh}\!\biggl(\frac{x_B}{a}\biggr)=H\Bigl(1+\frac{10}{a}\Bigr)=w_0\,(a+10).
  • Numérico:
    • T_A\approx0{,}25\cdot(70{,}32+30)\\ \mathrm{kN}=0{,}25\cdot100{,}32\\ \mathrm{kN}\approx25{,}08\\ \mathrm{kN}.
    • T_B\approx0{,}25\cdot(70{,}32+10)\\ \mathrm{kN}=0{,}25\cdot80{,}32\\ \mathrm{kN}\approx20{,}08\\ \mathrm{kN}.
  • Conclusão: a tração máxima ocorre no apoio A (lado mais alto) e vale aproximadamente 25{,}08\\ \mathrm{kN}.

Passo 9

Calcular o comprimento do cabo entre A e B.
  • O comprimento do arco entre x=-x_A e x=+x_B é
S=\int_{-x_A}^{x_B}\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^2}\,dx=\int_{-x_A}^{x_B}\operatorname{cosh}\!\biggl(\frac{x}{a}\biggr)\,dx.
  • Integrando,
S=a\left[\operatorname{sinh}\!\biggl(\frac{x}{a}\biggr)\right]_{-x_A}^{x_B}=a\Bigl(\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{x_B}{a}\bigr)+\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{x_A}{a}\bigr)\Bigr).
  • Usando os valores de \operatorname{sinh} obtidos a partir de \operatorname{cosh} (pois \operatorname{sinh}(u)=\sqrt{\operatorname{cosh}^2(u)-1}):
    • Para x_A/a: \operatorname{cosh}\approx1{,}4266\Rightarrow\operatorname{sinh}\approx1{,}0177.
    • Para x_B/a: \operatorname{cosh}\approx1{,}1422\Rightarrow\operatorname{sinh}\approx0{,}5519.
  • Logo
S\approx70{,}32\cdot(1{,}0177+0{,}5519)\\ \mathrm{m}\approx70{,}32\cdot1{,}5696\\ \mathrm{m}\approx110{,}36\\ \mathrm{m}.

Passo 10

Resumo numérico final (valores aproximados com duas casas decimais).
  • Parâmetro da catenária: a\approx70{,}32\\ \mathrm{m}.
  • Componente horizontal da tração: H\approx17{,}58\\ \mathrm{kN}.
  • Tração no apoio A: T_A\approx25{,}08\\ \mathrm{kN}.
  • Tração no apoio B: T_B\approx20{,}08\\ \mathrm{kN}.
  • Comprimento do cabo entre A e B: S\approx110{,}36\\ \mathrm{m}.

Resposta

Tração máxima \approx25{,}08\\ \mathrm{kN}
Comprimento entre A e B \approx110{,}36\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados