O cabo de transmissão de energia tem um peso por unidade de comprimento de
. Se o ponto mais baixo do cabo precisa estar a pelo menos 30 metros acima do solo, determine a tração máxima desenvolvida no cabo e o comprimento entre os pontos A e B .
Passo 1
Vou listar o que o enunciado e a figura nos dão (estou pegando estes números da imagem):
- Peso do cabo por unidade de comprimento:
. - Distância horizontal entre os pontos de apoio
e : . - Altura do topo do apoio em
acima do solo: . - Altura do topo do apoio em
acima do solo: . - O ponto mais baixo do cabo deve ficar a
acima do solo (logo a flecha mínima é ).
O enunciado pede:
- Determinar a tração máxima desenvolvida no cabo (ou seja, a maior intensidade da força de tração ao longo do cabo).
- Determinar o comprimento do cabo entre os pontos
e .
Passo 2
Modelo físico e escolha de coordenadas (explicação didática do modelo catenário).
- Um cabo flexível e pesado, suspenso só pela gravidade, toma a forma de uma catenária. A equação padrão, escolhendo a origem
no ponto mais baixo do cabo, é
onde
é um parâmetro da catenária,
é uma constante vertical. A função
é a coseno hiperbólica;
.
- O ponto mais baixo fica em
. Assim . Pelo enunciado , logo
- O parâmetro
está relacionado à componente horizontal da tração e ao peso por unidade de comprimento (peso por unidade de comprimento do cabo, força por metro): vale a relação clássica
Explicação curta:
é a componente horizontal da tração, é constante ao longo do cabo; a escolha desse
surge ao integrar a equação de equilíbrio do cabo com densidade linear
.
Passo 3
Expressar as alturas nos apoios em termos de
e das abscissas horizontais.
- Chame
a abscissa positiva correspondente à distância horizontal do ponto mais baixo até o apoio em , e a distância até o apoio em no lado esquerdo. Para simplificar escrevemos e , com . - As alturas nos apoios são
Usando
e os valores dados:
o que simplifica para
Analogamente, para
(
):
Destas equações isolamos as cossenos hiperbólicas:
Passo 4
Escrever a condição de separação horizontal e a equação para
.
- Como a distância horizontal total entre apoios é
,
- Usando as invertidas das relações acima, escrevemos
- Portanto
deve satisfazer a equação não linear
Comentário didático: a função
é o inverso de
para
e pode ser avaliada com a fórmula
.
Passo 5
Resolver numericamente a equação para
(método de tentativa e ajuste).
- Vamos avaliar
para alguns valores de até encontrar a raiz. Observação: . - Testes rápidos (mostrando alguns valores usados para convergência):
- Para
: calculou-se (menor que zero). - Para
: . - Para
: .
- Para
- A raiz está entre
e . Refino com tentativas: -
dá . -
dá (convergência aceitável).
-
- Assim obtemos, com boa precisão,
Breve comentário: esse valor foi obtido por busca numérica (bisseção/iteração); em prova basta mostrar o procedimento e uma aproximação numérica razoável.
Passo 6
Determinar as posições horizontais dos apoios relativas ao ponto mais baixo.
- Calcule os argumentos hiperbólicos:
- Logo
- Portanto
e
, confirmado.
Passo 7
Calcular a componente horizontal da tração
.
- Relação já citada:
. Substituindo e ,
Interpretação:
é a tração horizontal constante ao longo do cabo.
Passo 8
Calcular a tração nos apoios e encontrar a tração máxima (explicação da fórmula).
- A tração em um ponto
do cabo tem magnitude
Como
, obtemos
- Nos apoios (maiores abscissas em magnitude) a tração será maior do que no ponto mais baixo (onde
). Calculamos as tração nos dois apoios: - Apoio
(lado esquerdo, em ): . Assim
Substituindo , isso é equivalente a - Apoio
: análogo,
- Apoio
- Numérico:
-
- Conclusão: a tração máxima ocorre no apoio
(lado mais alto) e vale aproximadamente .
Passo 9
Calcular o comprimento do cabo entre
e
.
- O comprimento do arco entre
e é
- Integrando,
- Usando os valores de
obtidos a partir de (pois ): - Para
: . - Para
: .
- Para
- Logo
Passo 10
Resumo numérico final (valores aproximados com duas casas decimais).
- Parâmetro da catenária:
. - Componente horizontal da tração:
. - Tração no apoio
: . - Tração no apoio
: . - Comprimento do cabo entre
e : .
Resposta
Tração máxima
Comprimento entre e
Comprimento entre