Exercício 2:

Uma fissura central foi detectada numa chapa de largura 50 mm e espessura 25,4 \mathrm{~mm}, quando esta é carregada em tração por uma carga de 50 kN .
a) Para uma trinca de comprimento 2 \mathrm{a}=6 \mathrm{~mm}, qual o valor do fator de intensificação de tensões?
b) Caso o material tenha uma tenacidade à fratura de 24 \mathrm{MPa}(\mathrm{m})^{1 / 2}, qual o tamanho crítico da trinca. Considere f\left(\frac{a}{w}\right)=1
c) Qual o maior comprimento de trinca permitido para um coeficiente de segurança =3,0, supondo os mesmos dados do item (b)?
d) Considerando-se os dados dos itens (b) e (c), qual o fator de segurança no contexto do tamanho crítico da trinca? Desconsidere o raio de plastificação para todos os itens do problema. Sendo: \mathrm{S}_{\mathrm{y}}=210 \mathrm{MPa}.
K_{I}=f\left(\frac{a}{W}\right) \sigma \sqrt{\pi a}
Trinca central passante em placa finita
f\left(\frac{a}{W}\right)=\sqrt{\operatorname{sec} \frac{\pi a}{2 W}}\left(1-0,025\left(\frac{a}{W}\right)^{2}+0,06\left(\frac{a}{W}\right)^{4}\right)

  1. Fatores de intensidade de tensões, K_{t}, K_{I I} e K_{I I I}, para corpos de prova com trincas centrais. (Fonte: ref. 11, Del Research Corp.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (cada valor foi pego do enunciado):
  • Geometria da chapa:
    • largura W = 50\\ \mathrm{mm},
    • espessura t = 25{,}4\\ \mathrm{mm}.
  • Carga de tração aplicada: P = 50\\ \mathrm{kN} = 50\,000\\ \mathrm{N}.
  • Trinca detectada inicialmente: comprimento total 2a = 6\\ \mathrm{mm}, logo o semi-comprimento a = 3\\ \mathrm{mm}.
  • Tenacidade à fratura fornecida (item b): K_{IC} = 24\\ \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}}.
  • Função geométrica para trinca central passante em placa finita (dada): f\!\left(\frac{a}{W}\right)=\sqrt{\operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi a}{2W}\right)}\!\left(1-0{,}025\left(\frac{a}{W}\right)^{2}+0{,}06\left(\frac{a}{W}\right)^{4}\right).
  • Relação intensidade de tensões: K_{I}=f\!\left(\frac{a}{W}\right)\sigma\sqrt{\pi a}.
  • Coeficiente de segurança pedido no item (c): n=3{,}0.
  • Tensão de escoamento fornecida (não usada diretamente até onde o enunciado exige): S_y=210\\ \mathrm{MPa}.
O enunciado pede:
(a) para 2a=6\\ \mathrm{mm}, calcular o fator de intensificação de tensões K_I;
(b) com K_{IC}=24\\ \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}} e assumindo f\!\left(\dfrac{a}{W}\right)=1, achar o tamanho crítico da trinca;
(c) com os mesmos dados do item (b) e para coeficiente de segurança =3{,}0, qual o maior comprimento de trinca permitido;
(d) considerando os dados dos itens (b) e (c), qual o fator de segurança no contexto do tamanho crítico da trinca.

Passo 2

Calcular a tensão nominal média \sigma na seção (vai ser usada em todas as fórmulas). A seção que suporta a carga é A = W\cdot t. Usamos unidades \mathrm{mm} e \mathrm{N}, lembrando que 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
  • Área: A = 50\\ \mathrm{mm}\times25{,}4\\ \mathrm{mm} = 1270\\ \mathrm{mm^{2}}.
  • Tensão média: \sigma=\frac{P}{A}=\frac{50\,000\\ \mathrm{N}}{1270\\ \mathrm{mm^{2}}}=39{,}3700787\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Em unidades usuais:
\sigma \approx 39{,}37\\ \mathrm{MPa}.
Explicação rápida (aula curta): a tensão média é força dividida pela área que recebe a força. Usamos \mathrm{N/mm^{2}} para obter diretamente \mathrm{MPa}.

Passo 3

Calcular f\!\left(\dfrac{a}{W}\right) para a=3\\ \mathrm{mm} e W=50\\ \mathrm{mm}.
  • Primeiro, a razão: \frac{a}{W}=\frac{3}{50}=0{,}06.
  • Calcular o argumento da secante: \frac{\pi a}{2W}=\pi\cdot\frac{3}{2\cdot50}=\pi\cdot0{,}03\approx0{,}0942478\\ \text{(rad)}.A secante é \operatorname{sec} x = 1/\cos x.
  • Avaliando numericamente: \cos\!\left(0{,}0942478\right)\approx0{,}995556\quad\Rightarrow\quad \operatorname{sec}\!\left(0{,}0942478\right)\approx1{,}004462.
\sqrt{\operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi a}{2W}\right)}\approx\sqrt{1{,}004462}\approx1{,}002228.
  • Agora o polinômio: 1-0{,}025\left(\frac{a}{W}\right)^{2}+0{,}06\left(\frac{a}{W}\right)^{4} =1-0{,}025(0{,}06)^{2}+0{,}06(0{,}06)^{4}.
(0{,}06)^{2}=0{,}0036,\qquad(0{,}06)^{4}=1{,}296\times10^{-5}.
\text{polinômio}=1-0{,}025\cdot0{,}0036+0{,}06\cdot1{,}296\times10^{-5} =1-0{,}00009+0{,}0000007776\approx0{,}99991078.ô
  • Produto final: f\!\left(\frac{a}{W}\right)\approx1{,}002228\times0{,}99991078\approx1{,}002139.
Interpretação curta: para um defeito tão pequeno em relação à largura ( a/W=0{,}06), f fica muito próximo de 1, mas aqui calculamos f\approx1{,}00214.

Passo 4

Calcular K_I para a=3\\ \mathrm{mm} (item a). Lembrete sobre unidades: queremos K_I em \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}}. Para isso, usamos \sigma em \mathrm{MPa} e a em metros dentro da raiz quadrada. Converter a para metros:
a=3\\ \mathrm{mm}=0{,}003\\ \mathrm{m}.
Usando
K_I=f\!\left(\frac{a}{W}\right)\sigma\sqrt{\pi a},
substituímos:
K_I\approx 1{,}002139\times39{,}37\\ \mathrm{MPa}\times\sqrt{\pi\times0{,}003\\ \mathrm{m}}.
Calcular passo a passo:
\sqrt{\pi\times0{,}003}=\sqrt{0{,}00942477796}\approx0{,}0970959\\ \mathrm{m^{1/2}}.
39{,}37\times0{,}0970959\approx3{,}82261\\ (\mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}}).
K_I\approx1{,}002139\times3{,}82261\approx3{,}8308\\ \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}}.
Conclusão do item (a):
K_I\approx3{,}83\\ \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}}.
Comentário pedagógico: comparar com K_{IC}=24\\ \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}} mostra que a intensidade de tensões com a trinca detectada é muito menor que a tenacidade — portanto, a trinca de 2a=6\\ \mathrm{mm} não é criticamente perigosa do ponto de vista de fratura imediata.

Passo 5

Item (b): achar o tamanho crítico da trinca supondo f\!\left(\dfrac{a}{W}\right)=1. Definição do tamanho crítico: valor de a tal que K_I=K_{IC}. Com f=1,
K_{IC}=\sigma\sqrt{\pi a_c}.
Isolando a_c:
\sqrt{a_c}=\frac{K_{IC}}{\sigma\sqrt{\pi}}\quad\Rightarrow\quad a_c=\left(\frac{K_{IC}}{\sigma\sqrt{\pi}}\right)^{2}.
Substituindo valores ( \sigma=39{,}37\\ \mathrm{MPa}, K_{IC}=24\\ \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}}):
a_c=\left(\frac{24}{39{,}37\sqrt{\pi}}\right)^{2}\\ \mathrm{m}.
Calcular numericamente:
\sqrt{\pi}\approx1{,}772454,\qquad 39{,}37\times1{,}772454\approx69{,}77.
\frac{24}{69{,}77}\approx0{,}34414,\qquad a_c\approx(0{,}34414)^{2}\approx0{,}11843\\ \mathrm{m}.
Converter para mm e para comprimento total 2a:
a_c\approx0{,}11843\\ \mathrm{m}=118{,}43\\ \mathrm{mm}, \qquad 2a_c\approx236{,}86\\ \mathrm{mm}.
Observação importante (didática): esse valor crítico é muito maior que a largura da placa ( W=50\\ \mathrm{mm}), o que indica que a hipótese f=1 e/ou modelo linear elástico pode não ser válido nesse regime de trinca tão grande para a geometria considerada. Mas o enunciado pediu explicitamente para tomar f=1, então esse é o resultado formal.

Passo 6

Item (c): “Qual o maior comprimento de trinca permitido para um coeficiente de segurança =3{,}0, supondo os mesmos dados do item (b)?”
Interpretação e método: ao exigir coeficiente de segurança n contra fratura, impõe-se que a intensidade admissível seja
K_{adm}=\frac{K_{IC}}{n}.
Então a condição admissível é
K_{adm}=\sigma\sqrt{\pi a_{max}}.
Seguindo os mesmos passos do item (b),
a_{max}=\left(\frac{K_{IC}/n}{\sigma\sqrt{\pi}}\right)^{2}=\frac{a_c}{n^{2}}.
Com n=3{,}0 e a_c do item (b):
a_{max}=\frac{0{,}11843}{3^{2}}=\frac{0{,}11843}{9}\approx0{,}013158\\ \mathrm{m}.
Converter:
a_{max}\approx0{,}01316\\ \mathrm{m}=13{,}16\\ \mathrm{mm}, \qquad 2a_{max}\approx26{,}32\\ \mathrm{mm}.
Interpretação curta: para garantir um fator de segurança 3 contra fratura, o semi-comprimento da trinca não deve exceder \approx13{,}16\\ \mathrm{mm}, ou comprimento total 2a\approx26{,}32\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Item (d): “Considerando-se os dados dos itens (b) e (c), qual o fator de segurança no contexto do tamanho crítico da trinca?”
Explicação do que se pode calcular e escolha do critério (didática): existem formas distintas de definir “fator de segurança” em fratura. Duas interpretações úteis e relacionadas:
  1. Relação entre o comprimento crítico encontrado em (b) e o comprimento permitido em (c). Como vimos em

Passo 8

\frac{a_c}{a_{max}}=n^{2}.
Com n=3{,}0,
\frac{a_c}{a_{max}}=3^{2}=9.
Portanto, sob essa definição, o “fator de segurança no contexto do tamanho crítico da trinca” é 9 (ou seja, o comprimento crítico é 9 vezes maior que o semi-comprimento admissível para n=3).
  1. Complemento útil que costuma interessar em projetos: fator de segurança em termos de intensidade de tensões para a trinca atual ( a=3\\ \mathrm{mm}). Isso é dado por n_{K}=\frac{K_{IC}}{K_I}.Usando K_I do item (a) ( K_I\approx3{,}83\\ \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}}): n_{K}\approx\frac{24}{3{,}83}\approx6{,}26.Isto diz que, com a trinca detectada de 2a=6\\ \mathrm{mm}, a resistência à fratura disponível é cerca de 6{,}3 vezes maior que a intensidade atual.
Eu apresento a interpretação pedida no enunciado (mais direta entre os itens (b) e (c)), que é a (1): razão a_c/a_{max}=9.

Resposta

(a) K_I \approx 3{,}83\\ \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}}.
(b) tamanho crítico (semi-comprimento) a_c \approx 0{,}1184\\ \mathrm{m}=118{,}4\\ \mathrm{mm}. Comprimento total crítico 2a_c\approx236{,}8\\ \mathrm{mm}.
(c) maior comprimento permitido para n=3{,}0: semi-comprimento a_{max}\approx0{,}01316\\ \mathrm{m}=13{,}16\\ \mathrm{mm}. Comprimento total 2a_{max}\approx26{,}32\\ \mathrm{mm}.
(d) fator de segurança (relação entre os tamanhos do item (b) e (c)): \dfrac{a_c}{a_{max}}=9.

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