Exercício 2:
Uma fissura central foi detectada numa chapa de largura 50 mm e espessura
, quando esta é carregada em tração por uma carga de 50 kN .
a) Para uma trinca de comprimento
, qual o valor do fator de intensificação de tensões?
b) Caso o material tenha uma tenacidade à fratura de
, qual o tamanho crítico da trinca. Considere
c) Qual o maior comprimento de trinca permitido para um coeficiente de segurança
, supondo os mesmos dados do item (b)?
d) Considerando-se os dados dos itens (b) e (c), qual o fator de segurança no contexto do tamanho crítico da trinca? Desconsidere o raio de plastificação para todos os itens do problema. Sendo:
.
Trinca central passante em placa finita
- Fatores de intensidade de tensões,
e
, para corpos de prova com trincas centrais. (Fonte: ref. 11, Del Research Corp.)
a) Para uma trinca de comprimento
b) Caso o material tenha uma tenacidade à fratura de
c) Qual o maior comprimento de trinca permitido para um coeficiente de segurança
d) Considerando-se os dados dos itens (b) e (c), qual o fator de segurança no contexto do tamanho crítico da trinca? Desconsidere o raio de plastificação para todos os itens do problema. Sendo:
- Fatores de intensidade de tensões,
e , para corpos de prova com trincas centrais. (Fonte: ref. 11, Del Research Corp.)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (cada valor foi pego do enunciado):
- Geometria da chapa:
- largura
, - espessura
.
- largura
- Carga de tração aplicada:
. - Trinca detectada inicialmente: comprimento total
, logo o semi-comprimento - Tenacidade à fratura fornecida (item b):
. - Função geométrica para trinca central passante em placa finita (dada):
- Relação intensidade de tensões:
- Coeficiente de segurança pedido no item (c):
. - Tensão de escoamento fornecida (não usada diretamente até onde o enunciado exige):
.
O enunciado pede:
(a) para , calcular o fator de intensificação de tensões
;
(b) com e assumindo
, achar o tamanho crítico da trinca;
(c) com os mesmos dados do item (b) e para coeficiente de segurança , qual o maior comprimento de trinca permitido;
(d) considerando os dados dos itens (b) e (c), qual o fator de segurança no contexto do tamanho crítico da trinca.
(a) para
(b) com
(c) com os mesmos dados do item (b) e para coeficiente de segurança
(d) considerando os dados dos itens (b) e (c), qual o fator de segurança no contexto do tamanho crítico da trinca.
Passo 2
Calcular a tensão nominal média
na seção (vai ser usada em todas as fórmulas). A seção que suporta a carga é
. Usamos unidades
e
, lembrando que
.
- Área:
. - Tensão média:
Em unidades usuais:
Explicação rápida (aula curta): a tensão média é força dividida pela área que recebe a força. Usamos
para obter diretamente
.
Passo 3
Calcular
para
e
.
- Primeiro, a razão:
- Calcular o argumento da secante:
A secante é . - Avaliando numericamente:
- Agora o polinômio:
- Produto final:
Interpretação curta: para um defeito tão pequeno em relação à largura (
),
fica muito próximo de
, mas aqui calculamos
.
Passo 4
Calcular
para
(item a). Lembrete sobre unidades: queremos
em
. Para isso, usamos
em
e
em metros dentro da raiz quadrada. Converter
para metros:
Usando
substituímos:
Calcular passo a passo:
Conclusão do item (a):
Comentário pedagógico: comparar com
mostra que a intensidade de tensões com a trinca detectada é muito menor que a tenacidade — portanto, a trinca de
não é criticamente perigosa do ponto de vista de fratura imediata.
Passo 5
Item (b): achar o tamanho crítico da trinca supondo
. Definição do tamanho crítico: valor de
tal que
. Com
,
Isolando
:
Substituindo valores (
,
):
Calcular numericamente:
Converter para mm e para comprimento total
:
Observação importante (didática): esse valor crítico é muito maior que a largura da placa (
), o que indica que a hipótese
e/ou modelo linear elástico pode não ser válido nesse regime de trinca tão grande para a geometria considerada. Mas o enunciado pediu explicitamente para tomar
, então esse é o resultado formal.
Passo 6
Item (c): “Qual o maior comprimento de trinca permitido para um coeficiente de segurança
, supondo os mesmos dados do item (b)?”
Interpretação e método: ao exigir coeficiente de segurança
contra fratura, impõe-se que a intensidade admissível seja
Então a condição admissível é
Seguindo os mesmos passos do item (b),
Com
e
do item (b):
Converter:
Interpretação curta: para garantir um fator de segurança
contra fratura, o semi-comprimento da trinca não deve exceder
, ou comprimento total
.
Passo 7
Item (d): “Considerando-se os dados dos itens (b) e (c), qual o fator de segurança no contexto do tamanho crítico da trinca?”
Explicação do que se pode calcular e escolha do critério (didática): existem formas distintas de definir “fator de segurança” em fratura. Duas interpretações úteis e relacionadas:
- Relação entre o comprimento crítico encontrado em (b) e o comprimento permitido em (c). Como vimos em
Passo 8
Com
,
Portanto, sob essa definição, o “fator de segurança no contexto do tamanho crítico da trinca” é
(ou seja, o comprimento crítico é 9 vezes maior que o semi-comprimento admissível para
).
- Complemento útil que costuma interessar em projetos: fator de segurança em termos de intensidade de tensões para a trinca atual (
). Isso é dado por Usando do item (a) ( ): Isto diz que, com a trinca detectada de , a resistência à fratura disponível é cerca de vezes maior que a intensidade atual.
Eu apresento a interpretação pedida no enunciado (mais direta entre os itens (b) e (c)), que é a (1): razão
.
Resposta
(a)
.
(b) tamanho crítico (semi-comprimento)
. Comprimento total crítico
.
(c) maior comprimento permitido para
: semi-comprimento
. Comprimento total
.
(d) fator de segurança (relação entre os tamanhos do item (b) e (c)):