Para o estado plano de deformação dado, use o método da Seção 7.10 para determinar o estado plano de deformação associado aos eixos
e
que sofreram uma rotação do ângulo
dado.
,
,
,
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que nos foram dados:
- Pede: determinar o estado plano de deformação (i.e., as deformações no novo sistema de eixos
) após rotação dos eixos originais por um ângulo . - Dados fornecidos:
-
-
-
-
(rotação positiva no sentido anti-horário, indicado com seta para cima)
-
- O objetivo numérico é calcular
, e para os eixos girados.
Passo 2
Apresentando as fórmulas de transformação (e o que cada símbolo significa), de forma didática:
- Aqui usamos a forma padrão de transformação para deformações planas usando a notação de “deformação normal”
e “deformação de corte (engenharia)” . - Significado das variáveis:
-
: deformações normais nas direções e (unidade: , microdeformação). -
: deformação de cisalhamento de engenharia no par de eixos (igual a duas vezes a componente de tensor ). -
: ângulo de rotação do eixo para (positivo anti-horário). -
: quantidades procuradas no sistema girado.
-
- Fórmulas de transformação (essas fórmulas vêm do tensor de deformação e são as usadas na Seção indicada):
- Observação didática curta: a razão dos termos com
e vem do fato de que quando rotacionamos eixos aparecem funções trigonométricas com o dobro do ângulo para quantidades quadráticas em direção (como , e ). O termo vem da relação entre a componente de tensor e a deformação de engenharia (tem fator ).
Passo 3
Calcular os termos intermediários (sempre em
):
- Média das deformações:
- Diferença dividida por 2:
- Metade da deformação de cisalhamento:
- Valores trigonométricos para
(aqui ):
Passo 4
Calcular
passo a passo substituindo na fórmula:
Agora substituindo os valores numéricos:
Calcule termo a termo:
Somando:
Arredondando razoavelmente:
Passo 5
Calcular
passo a passo:
Substituindo:
Novamente termo a termo:
Somando:
Arredondando:
Passo 6
Calcular
passo a passo usando a fórmula:
Como
, temos:
Calcule:
Somando:
Arredondando:
Passo 7
Verificações rápidas (ajudam na prova):
- Invariância do traço (soma das deformações normais) deve ser preservada:
OK.
- Se precisar, pode também checar com as fórmulas alternativas (vindo do tensor) — mas a verificação do traço já é um bom check rápido na prova.
Passo 8
Resumo prático para a prova (passos que dá para decorar/seguir):
- Calcule
, e . - Calcule
e . - Substitua nas fórmulas diretas para
, e . - Faça a verificação rápida:
.
Dica moral: se estiver sem calculadora, use valores exatos conhecidos (por exemplo, ) para manter precisão.