Para o estado plano de deformação dado, use o método da Seção 7.10 para determinar o estado plano de deformação associado aos eixos x^{\prime} e y^{\prime} que sofreram uma rotação do ângulo \theta dado.
\boldsymbol{\epsilon}_{x} = 0, \boldsymbol{\epsilon}_{y} = +320 \mu, \gamma_{x y} = -10, \theta = 30^{\circ} \uparrow

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que nos foram dados:
  • Pede: determinar o estado plano de deformação (i.e., as deformações no novo sistema de eixos x'\!-\!y') após rotação dos eixos originais por um ângulo \theta.
  • Dados fornecidos:
    • \epsilon_{x}=0
    • \epsilon_{y}=+320\\ \mu
    • \gamma_{xy}=-10\\ \mu
    • \theta=30^\circ (rotação positiva no sentido anti-horário, indicado com seta para cima)
  • O objetivo numérico é calcular \epsilon_{x'}, \epsilon_{y'} e \gamma_{x'y'} para os eixos girados.

Passo 2

Apresentando as fórmulas de transformação (e o que cada símbolo significa), de forma didática:
  • Aqui usamos a forma padrão de transformação para deformações planas usando a notação de “deformação normal” \epsilon e “deformação de corte (engenharia)” \gamma.
  • Significado das variáveis:
    • \epsilon_x,\\ \epsilon_y: deformações normais nas direções x e y (unidade: \mu, microdeformação).
    • \gamma_{xy}: deformação de cisalhamento de engenharia no par de eixos x,y (igual a duas vezes a componente de tensor \epsilon_{xy}).
    • \theta: ângulo de rotação do eixo x para x' (positivo anti-horário).
    • \epsilon_{x'},\\ \epsilon_{y'},\\ \gamma_{x'y'}: quantidades procuradas no sistema girado.
  • Fórmulas de transformação (essas fórmulas vêm do tensor de deformação e são as usadas na Seção indicada): \epsilon_{x'}=\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}+\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\cos2\theta+\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta
\epsilon_{y'}=\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}-\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\cos2\theta-\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta
\gamma_{x'y'}=-(\epsilon_x-\epsilon_y)\sin2\theta+\gamma_{xy}\cos2\theta
  • Observação didática curta: a razão dos termos com \cos2\theta e \sin2\theta vem do fato de que quando rotacionamos eixos aparecem funções trigonométricas com o dobro do ângulo para quantidades quadráticas em direção (como \cos^2\theta, \sin^2\theta e \sin\theta\cos\theta). O termo \gamma_{xy}/2 vem da relação entre a componente de tensor \epsilon_{xy} e a deformação de engenharia \gamma_{xy} (tem fator 1/2).

Passo 3

Calcular os termos intermediários (sempre em \mu):
  • Média das deformações: \frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}=\frac{0+320}{2}=160\\ \mu
  • Diferença dividida por 2: \frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}=\frac{0-320}{2}=-160\\ \mu
  • Metade da deformação de cisalhamento: \frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{-10}{2}=-5\\ \mu
  • Valores trigonométricos para 2\theta (aqui 2\theta=60^\circ): \cos2\theta=\cos60^\circ=\tfrac{1}{2}=0,5
\sin2\theta=\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0,8660254

Passo 4

Calcular \epsilon_{x'} passo a passo substituindo na fórmula:
\epsilon_{x'}=160 + (-160)\cdot\cos2\theta + (-5)\cdot\sin2\theta
Agora substituindo os valores numéricos:
\epsilon_{x'}=160 + (-160)\cdot 0,5 + (-5)\cdot 0,8660254
Calcule termo a termo:
(-160)\cdot 0,5 = -80\\ \mu
(-5)\cdot 0,8660254 \approx -4,330127\\ \mu
Somando:
\epsilon_{x'}=160 -80 -4,330127 \approx 75,669873\\ \mu
Arredondando razoavelmente:
\epsilon_{x'}\approx 75,67\\ \mu

Passo 5

Calcular \epsilon_{y'} passo a passo:
\epsilon_{y'}=160 - (-160)\cdot\cos2\theta - (-5)\cdot\sin2\theta
Substituindo:
\epsilon_{y'}=160 -(-160)\cdot 0,5 -(-5)\cdot 0,8660254
Novamente termo a termo:
-(-160)\cdot 0,5 = +80\\ \mu
-(-5)\cdot 0,8660254 = +4,330127\\ \mu
Somando:
\epsilon_{y'}=160 +80 +4,330127 \approx 244,330127\\ \mu
Arredondando:
\epsilon_{y'}\approx 244,33\\ \mu

Passo 6

Calcular \gamma_{x'y'} passo a passo usando a fórmula:
\gamma_{x'y'}=-(\epsilon_x-\epsilon_y)\sin2\theta+\gamma_{xy}\cos2\theta
Como \epsilon_x-\epsilon_y=-320, temos:
\gamma_{x'y'}=-(-320)\cdot 0,8660254 + (-10)\cdot 0,5
Calcule:
-(-320)\cdot 0,8660254 = 320\cdot 0,8660254 \approx 277,12813\\ \mu
(-10)\cdot 0,5 = -5\\ \mu
Somando:
\gamma_{x'y'} \approx 277,12813 -5 = 272,12813\\ \mu
Arredondando:
\gamma_{x'y'}\approx 272,13\\ \mu

Passo 7

Verificações rápidas (ajudam na prova):
  • Invariância do traço (soma das deformações normais) deve ser preservada: \epsilon_{x'}+\epsilon_{y'} \stackrel{?}{=} \epsilon_x+\epsilon_y
75,669873 + 244,330127 \approx 320 \quad\text{e}\quad 0+320=320
OK.
  • Se precisar, pode também checar com as fórmulas alternativas (vindo do tensor) — mas a verificação do traço já é um bom check rápido na prova.

Passo 8

Resumo prático para a prova (passos que dá para decorar/seguir):
  1. Calcule \dfrac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}, \dfrac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2} e \dfrac{\gamma_{xy}}{2}.
  2. Calcule \cos2\theta e \sin2\theta.
  3. Substitua nas fórmulas diretas para \epsilon_{x'}, \epsilon_{y'} e \gamma_{x'y'}.
  4. Faça a verificação rápida: \epsilon_{x'}+\epsilon_{y'}=\epsilon_x+\epsilon_y.
    Dica moral: se estiver sem calculadora, use valores exatos conhecidos (por exemplo \cos60^\circ=\tfrac{1}{2}, \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}) para manter precisão.

Resposta

\epsilon_{x'}\approx 75,67\\ \mu
\epsilon_{y'}\approx 244,33\\ \mu
\gamma_{x'y'}\approx 272,13\\ \mu

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