Para o estado plano de deformação dado, use o método da Seção 7.10 para determinar o estado plano de deformação associado aos eixos x^{\prime} e y^{\prime} que sofreram uma rotação do ângulo \theta dado.
\boldsymbol{\epsilon}_{x} = -350 \mu, \boldsymbol{\epsilon}_{y} = 0, \gamma_{x y} = +120 \mu, \theta = 15^{\circ} \downarrow

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Dados numéricos (peguei-os do enunciado):
    \epsilon_{x} = -350\\ \mu, \epsilon_{y} = 0\\ \mu, \gamma_{xy} = +120\\ \mu.
  • O enunciado pede: determinar o estado de deformação no sistema de eixos x', y' que resulta de uma rotação dos eixos originais por um ângulo \theta (valor dado).
  • O ângulo de rotação (peguei-o da imagem): \theta = 15^\circ com indicação de giro para baixo (seta para baixo), isto é, rotação dos eixos no sentido horário por 15^\circ.
Portanto, precisamos calcular \epsilon_{x'}, \epsilon_{y'} e \gamma_{x'y'} correspondentes aos eixos rotacionados.

Passo 2

Conceito e fórmulas de transformação (a “fórmula da prova”, explicada passo a passo):
  • Interpretação das quantidades:
    • \epsilon_x,\\ \epsilon_y são as deformações normais ao longo dos eixos x e y.
    • \gamma_{xy} é a deformação de cisalhamento de engenharia no sistema x- y (aqui é o valor \gamma_{xy}= \Delta\theta em micro-unidades).
    • Ao girar o sistema de eixos por um ângulo \theta (positivo no sentido anti-horário), as componentes de deformação se transformam segundo fórmulas bem conhecidas.
  • Fórmulas de transformação (essas fórmulas são diretas e úteis na prova):
    \epsilon_{x'} = \frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2} + \frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\cos(2\theta) + \frac{\gamma_{xy}}{2}\sin(2\theta),
\epsilon_{y'} = \frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2} - \frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\cos(2\theta) - \frac{\gamma_{xy}}{2}\sin(2\theta),
\gamma_{x'y'} = -(\epsilon_x-\epsilon_y)\sin(2\theta) + \gamma_{xy}\cos(2\theta).
  • Explicando cada termo:
    • \dfrac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2} é a média das deformações normais, que aparece em ambas \epsilon_{x'} e \epsilon_{y'}.
    • \dfrac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\cos(2\theta) ajusta a diferença das normais conforme a rotação (o fator \cos(2\theta) aparece porque a dependência angular é de período \pi).
    • \dfrac{\gamma_{xy}}{2}\sin(2\theta) é a contribuição do cisalhamento presente no sistema original para as deformações normais no sistema rotacionado.
    • Para \gamma_{x'y'}, o primeiro termo vem da diferença das normais multiplicada por \sin(2\theta) e o segundo é a componente cisalhante transformada por \cos(2\theta).
  • Observação sobre o sinal de \theta: a convenção acima assume \theta positivo no sentido anti-horário. Na figura a rotação é 15^\circ para baixo (horário), portanto usaremos \theta = -15^\circ nas fórmulas (ou, equivalentemente, usaremos \cos(2\theta)=\cos(-30^\circ) e \sin(2\theta)=\sin(-30^\circ)). Isso garante que os sinais fiquem corretos.

Passo 3

Calcular quantidades intermediárias simples (tudo em \mu):
  • Média das normais:
    \frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}=\frac{-350+0}{2}=-175\\ \mu.
  • Metade da diferença:
    \frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}=\frac{-350-0}{2}=-175\\ \mu.
  • Metade do cisalhamento:
    \frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{120}{2}=60\\ \mu.
  • Agora os senos e cossenos com 2\theta. Como \theta=-15^\circ então 2\theta=-30^\circ. Usamos valores conhecidos:
    \cos(2\theta)=\cos(-30^\circ)=\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254,
\sin(2\theta)=\sin(-30^\circ)=-\sin(30^\circ)=-\frac{1}{2}=-0,5.

Passo 4

Calcular \epsilon_{x'} passo a passo:
  • Substituindo na fórmula:
    \epsilon_{x'} = -175 + (-175)\cos(2\theta) + 60\sin(2\theta).
  • Avaliando os termos numericamente:
    (-175)\cos(2\theta) = -175\times 0,8660254 \approx -151,554\\ \mu,
60\sin(2\theta) = 60\times(-0,5) = -30\\ \mu.
  • Somando:
    \epsilon_{x'} = -175 -151,554 -30 = -356,554\\ \mu.
  • Arredondando adequadamente (os dados originais têm três algarismos neste contexto), podemos anotar
    \epsilon_{x'} \approx -356{,}6\\ \mu \quad(\text{o sinal negativo indica contração ao longo de }x').çã

Passo 5

Calcular \epsilon_{y'} passo a passo:
  • Substituindo na fórmula:
    \epsilon_{y'} = -175 - (-175)\cos(2\theta) - 60\sin(2\theta).
  • Avaliando os termos (já calculados antes):
    -(-175)\cos(2\theta) = +151,554\\ \mu,
-60\sin(2\theta) = -60\times(-0,5) = +30\\ \mu.
  • Somando:
    \epsilon_{y'} = -175 +151,554 +30 = 6,554\\ \mu.
  • Arredondando:
    \epsilon_{y'} \approx 6{,}55\\ \mu.

Passo 6

Calcular \gamma_{x'y'} passo a passo:
  • Fórmula:
    \gamma_{x'y'} = -(\epsilon_x-\epsilon_y)\sin(2\theta) + \gamma_{xy}\cos(2\theta).
  • Avaliando os termos: \epsilon_x-\epsilon_y = -350\\ \mu.
    -(\epsilon_x-\epsilon_y)\sin(2\theta) = -(-350)\times(-0,5) = -175\\ \mu.
\gamma_{xy}\cos(2\theta) = 120\times 0,8660254 \approx 103,923\\ \mu.
  • Somando:
    \gamma_{x'y'} = -175 +103,923 = -71,077\\ \mu.
  • Arredondando:
    \gamma_{x'y'} \approx -71{,}08\\ \mu.
  • Observação sobre o sinal: o sinal negativo em \gamma_{x'y'} indica sentido do cisalhamento segundo a convenção adotada (eng. shear). Em provas, normalmente se pede apenas o valor com sinal conforme as fórmulas.

Passo 7

Resumo final (interpretação rápida e dica de prova):
  • Na prova, memorize as fórmulas de transformação ou derive rapidamente a partir das expressões de \cos^2\theta, \sin^2\theta, \sin\theta\cos\theta.
  • Lembre de ajustar o sinal de \theta conforme a direção da rotação mostrada na figura (se a rotação é horário, use \theta<0 nas fórmulas que assumem sentido anti-horário positivo).
  • Aqui os cálculos mostram que ao girar 15^\circ horário, a deformação normal em x' fica um pouco mais contrátil que em x, \epsilon_{y'} passa a ser pequena positiva, e o cisalhamento se inverte de sinal e reduz em magnitude.

Resposta

\epsilon_{x'} = -356{,}6\\ \mu
\epsilon_{y'} = 6{,}55\\ \mu
\gamma_{x'y'} = -71{,}08\\ \mu

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