Para o estado plano de deformação dado, use o método da Seção 7.10 para determinar o estado plano de deformação associado aos eixos
e
que sofreram uma rotação do ângulo
dado.
,
,
,
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
- Dados numéricos (peguei-os do enunciado):
, , . - O enunciado pede: determinar o estado de deformação no sistema de eixos
, que resulta de uma rotação dos eixos originais por um ângulo (valor dado). - O ângulo de rotação (peguei-o da imagem):
com indicação de giro para baixo (seta para baixo), isto é, rotação dos eixos no sentido horário por .
Portanto, precisamos calcular
,
e
correspondentes aos eixos rotacionados.
Passo 2
Conceito e fórmulas de transformação (a “fórmula da prova”, explicada passo a passo):
-
Interpretação das quantidades:
-
são as deformações normais ao longo dos eixos e . -
é a deformação de cisalhamento de engenharia no sistema - (aqui é o valor em micro-unidades). - Ao girar o sistema de eixos por um ângulo
(positivo no sentido anti-horário), as componentes de deformação se transformam segundo fórmulas bem conhecidas.
-
-
Fórmulas de transformação (essas fórmulas são diretas e úteis na prova):
-
Explicando cada termo:
-
é a média das deformações normais, que aparece em ambas e . -
ajusta a diferença das normais conforme a rotação (o fator aparece porque a dependência angular é de período ). -
é a contribuição do cisalhamento presente no sistema original para as deformações normais no sistema rotacionado. - Para
, o primeiro termo vem da diferença das normais multiplicada por e o segundo é a componente cisalhante transformada por .
-
-
Observação sobre o sinal de
: a convenção acima assume positivo no sentido anti-horário. Na figura a rotação é para baixo (horário), portanto usaremos nas fórmulas (ou, equivalentemente, usaremos e ). Isso garante que os sinais fiquem corretos.
Passo 3
Calcular quantidades intermediárias simples (tudo em
):
-
Média das normais:
-
Metade da diferença:
-
Metade do cisalhamento:
-
Agora os senos e cossenos com
. Como então . Usamos valores conhecidos:
Passo 4
Calcular
passo a passo:
-
Substituindo na fórmula:
-
Avaliando os termos numericamente:
-
Somando:
-
Arredondando adequadamente (os dados originais têm três algarismos neste contexto), podemos anotar
Passo 5
Calcular
passo a passo:
-
Substituindo na fórmula:
-
Avaliando os termos (já calculados antes):
-
Somando:
-
Arredondando:
Passo 6
Calcular
passo a passo:
-
Fórmula:
-
Avaliando os termos:
.
-
Somando:
-
Arredondando:
-
Observação sobre o sinal: o sinal negativo em
indica sentido do cisalhamento segundo a convenção adotada (eng. shear). Em provas, normalmente se pede apenas o valor com sinal conforme as fórmulas.
Passo 7
Resumo final (interpretação rápida e dica de prova):
- Na prova, memorize as fórmulas de transformação ou derive rapidamente a partir das expressões de
. - Lembre de ajustar o sinal de
conforme a direção da rotação mostrada na figura (se a rotação é horário, use nas fórmulas que assumem sentido anti-horário positivo). - Aqui os cálculos mostram que ao girar
horário, a deformação normal em fica um pouco mais contrátil que em , passa a ser pequena positiva, e o cisalhamento se inverte de sinal e reduz em magnitude.