Exercício 1.- Uma fonte AC de 5 kHz pode ser modelada através de uma f.e.m. de 250 V em série com uma reatância indutiva de 31 ohms. Este gerador supri potência a uma carga resistiva de 0,65 ohm através de um transformador que pode ser considerado ideal.
a. Qual deve ser a relação de transformação para transferir a máxima potência para a carga? b. Determine a tensão e a corrente nos dois enrolamentos do transformador.
a. Qual deve ser a relação de transformação para transferir a máxima potência para a carga? b. Determine a tensão e a corrente nos dois enrolamentos do transformador.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) A relação de transformação do transformador para que a potência entregue à carga seja máxima.
- (b) A tensão e a corrente nos dois enrolamentos do transformador (primário e secundário).
Dados fornecidos:
Observação sobre o transformador: pode ser considerado ideal. Vou usar uma relação de transformação do tipo
onde
são espiras e
são as tensões nos enrolamentos primário e secundário, respectivamente.
Passo 2
Entendendo o que podemos controlar e como o transformador afeta a impedância: um transformador ideal reflete a impedância do secundário para o primário multiplicada por
. Ou seja, a carga
vista pelo primário aparece como
Assim o circuito visto pelo gerador (no primário) é a f.e.m.
em série com
e com
(que é real). No secundário, referindo todo o circuito para o secundário, a f.e.m. equivalente é
em série com a reatância referida
e com
.
Nós queremos escolher
que maximize a potência dissipada em
. Vou trabalhar referindo tudo para o secundário porque aí a potência na carga é simplesmente
com corrente
do secundário.
Passo 3
Montagem da expressão da potência na carga referida ao secundário.
Ao referir para o secundário:
A corrente no secundário é
A potência real na carga é
Para simplificar, defina
(positivo). Então
Agora vamos maximizar
em relação a
.
Passo 4
Derivação para encontrar o máximo.
Calcule a derivada (tratando
e
como constantes):
Para um extremo, igualamos a zero o numerador:
Como
, esse é o candidato ao máximo. Verificando segunda derivada ou raciocínio físico, esse ponto é máximo (a função tende a zero quando
ou
). Portanto
Passo 5
Aplicando o valor numérico para a relação de transformação.
Usando
:
Portanto a relação de transformação (primário:secundário) deve ser aproximadamente
(ou seja,
). Em termos práticos, o enrolamento primário tem cerca de
vezes a tensão do secundário.
Observação física útil: com essa escolha temos
ou seja, a resistência refletida ao primário fica igual em módulo à reatância indutiva
. Isso deixa o circuito primário com impedância
, simétrica que maximiza a transferência real de potência para a carga puramente resistiva.
Passo 6
Cálculo das correntes e tensões nos dois enrolamentos (phasors e magnitudes).
- Impedância total vista pelo gerador (no primário) com
:
Magnitude:
Corrente no primário (phasor):
Calculando magnitude e ângulo:
ou seja
- Corrente no secundário (relações ideais do transformador):
- Tensão no primário (tensão no enrolamento primário, isto é, a tensão que aparece aos terminais do transformador no primário):
Podemos obtersubtraindo a queda em da f.e.m.:
Calcule
: como
, multiplicar por
adiciona
e multiplicar por
dá magnitude
. Assim
Então
Magnitude e ângulo:
- Tensão no secundário (enrolamento secundário):
Alternativamente a tensão no secundário sobre a carga é também
:
consistente com
(pequenas diferenças são por arredondamento).
Resumo numérico (valores arredondados com 3 algarismos significativos):
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(b)