Exercício 1.- Uma fonte AC de 5 kHz pode ser modelada através de uma f.e.m. de 250 V em série com uma reatância indutiva de 31 ohms. Este gerador supri potência a uma carga resistiva de 0,65 ohm através de um transformador que pode ser considerado ideal.
a. Qual deve ser a relação de transformação para transferir a máxima potência para a carga? b. Determine a tensão e a corrente nos dois enrolamentos do transformador.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) A relação de transformação do transformador para que a potência entregue à carga seja máxima.
  2. (b) A tensão e a corrente nos dois enrolamentos do transformador (primário e secundário).
Dados fornecidos:
\text{f.e.m. do gerador: }E_1 = 250\\ (\text{V})
\text{reatância indutiva em série: }X_s = 31\\ (\Omega)\quad\text{(portanto impedância }j31\text{)}âéâ
\text{carga resistiva no secundário: }R_L = 0,65\\ \Omegaá
\text{frequência: }5\\ \text{kHz (usada apenas para justificar }X_s\text{, já dado)}êá
Observação sobre o transformador: pode ser considerado ideal. Vou usar uma relação de transformação do tipo
a=\frac{N_1}{N_2}=\frac{V_1}{V_2},
onde N_1,N_2 são espiras e V_1,V_2 são as tensões nos enrolamentos primário e secundário, respectivamente.

Passo 2

Entendendo o que podemos controlar e como o transformador afeta a impedância: um transformador ideal reflete a impedância do secundário para o primário multiplicada por a^2. Ou seja, a carga R_L vista pelo primário aparece como
Z_{\text{ref}} = a^2 R_L.
Assim o circuito visto pelo gerador (no primário) é a f.e.m. E_1 em série com j31 e com a^2 R_L (que é real). No secundário, referindo todo o circuito para o secundário, a f.e.m. equivalente é E_2=E_1/a em série com a reatância referida j\frac{31}{a^2} e com R_L.
Nós queremos escolher a que maximize a potência dissipada em R_L. Vou trabalhar referindo tudo para o secundário porque aí a potência na carga é simplesmente P_L=|I_2|^2 R_L com corrente I_2 do secundário.

Passo 3

Montagem da expressão da potência na carga referida ao secundário.
Ao referir para o secundário:
E_2=\frac{E_1}{a},\qquad Z_s' = j\frac{31}{a^2}.
A corrente no secundário é
I_2=\frac{E_2}{R_L + j\frac{31}{a^2}}=\frac{E_1/a}{R_L + j\frac{31}{a^2}}.
A potência real na carga é
P_L = |I_2|^2 R_L = \frac{|E_1|^2/a^2 \; R_L}{R_L^2 + \left(\dfrac{31}{a^2}\right)^2}.
Para simplificar, defina x=\dfrac{1}{a^2} (positivo). Então
P_L(x)=\frac{E_1^2\; x\; R_L}{R_L^2 + (31x)^2}.
Agora vamos maximizar P_L(x) em relação a x>0.

Passo 4

Derivação para encontrar o máximo.
Calcule a derivada (tratando E_1 e R_L como constantes):
\frac{dP_L}{dx} = E_1^2 R_L \cdot \frac{(R_L^2 + 31^2 x^2) - x\cdot 2\cdot 31^2 x}{(R_L^2 + 31^2 x^2)^2} = E_1^2 R_L \cdot \frac{R_L^2 - 31^2 x^2}{(R_L^2 + 31^2 x^2)^2}.
Para um extremo, igualamos a zero o numerador:
R_L^2 - 31^2 x^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{R_L}{31}.
Como x>0, esse é o candidato ao máximo. Verificando segunda derivada ou raciocínio físico, esse ponto é máximo (a função tende a zero quando x\to0 ou x\to\infty). Portanto
\frac{1}{a^2} = x = \frac{R_L}{31}\quad\Rightarrow\quad a^2 = \frac{31}{R_L}.

Passo 5

Aplicando o valor numérico para a relação de transformação.
Usando R_L=0{,}65\\ \Omega:
a^2=\frac{31}{0{,}65}=47{,}6923076923\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{47{,}6923076923}\approx 6{,}907.
Portanto a relação de transformação (primário:secundário) deve ser aproximadamente a\approx 6{,}907 (ou seja, V_1/V_2\approx 6{,}907). Em termos práticos, o enrolamento primário tem cerca de 6{,}907 vezes a tensão do secundário.
Observação física útil: com essa escolha temos
a^2 R_L = 31\\ \Omega,
ou seja, a resistência refletida ao primário fica igual em módulo à reatância indutiva 31\\ \Omega. Isso deixa o circuito primário com impedância 31 + j31, simétrica que maximiza a transferência real de potência para a carga puramente resistiva.

Passo 6

Cálculo das correntes e tensões nos dois enrolamentos (phasors e magnitudes).
  1. Impedância total vista pelo gerador (no primário) com a^2 R_L=31\\ \Omega:
Z_{\text{tot}} = a^2 R_L + j31 = 31 + j31 = 31(1+j).
Magnitude:
|Z_{\text{tot}}| = 31\sqrt{2}.
Corrente no primário (phasor):
I_1 = \frac{E_1}{Z_{\text{tot}}} = \frac{250\angle 0^\circ}{31(1+j)}.
Calculando magnitude e ângulo:
|I_1| = \frac{250}{31\sqrt{2}} \approx \frac{250}{43{,}8406}\approx 5{,}705\\ \text{A},
\angle I_1 = -45^\circ,
ou seja
I_1 \approx 5{,}705\angle -45^\circ\\ \text{A}.
  1. Corrente no secundário (relações ideais do transformador):
I_2 = a\, I_1 \approx 6{,}907 \times 5{,}705\angle -45^\circ \approx 39{,}43\angle -45^\circ\\ \text{A}.
  1. Tensão no primário (tensão no enrolamento primário, isto é, a tensão que aparece aos terminais do transformador no primário):
    Podemos obter V_1 subtraindo a queda em j31 da f.e.m.:
V_1 = E_1 - I_1\cdot j31.
Calcule I_1\cdot j31: como I_1=5{,}705\angle -45^\circ, multiplicar por j adiciona +90^\circ e multiplicar por 31 dá magnitude 5{,}705\cdot 31 \approx 176{,}87. Assim
I_1\cdot j31 \approx 176{,}87\angle 45^\circ = 125 + j125\\ (\text{aprox.}).
Então
V_1 = 250\angle 0^\circ - (125 + j125) \approx 125 - j125 = 125(1-j).
Magnitude e ângulo:
|V_1| = 125\sqrt{2}\approx 176{,}78\\ \text{V},\qquad \angle V_1 = -45^\circ.
  1. Tensão no secundário (enrolamento secundário):
V_2 = \frac{V_1}{a} \approx \frac{176{,}78\angle -45^\circ}{6{,}907} \approx 25{,}62\angle -45^\circ\\ \text{V}.
Alternativamente a tensão no secundário sobre a carga é também V_L=I_2 R_L:
V_L = I_2 R_L \approx 39{,}43\angle -45^\circ \times 0{,}65 \approx 25{,}63\angle -45^\circ\\ \text{V},
consistente com V_2 (pequenas diferenças são por arredondamento).
Resumo numérico (valores arredondados com 3 algarismos significativos):
a \approx 6{,}907.
I_1 \approx 5{,}705\angle -45^\circ\\ \text{A}.
V_1 \approx 176{,}78\angle -45^\circ\\ \text{V}.
I_2 \approx 39{,}43\angle -45^\circ\\ \text{A}.
V_2 \approx 25{,}63\angle -45^\circ\\ \text{V}.

Resposta

(a) a=\sqrt{\dfrac{31}{R_L}}=\sqrt{\dfrac{31}{0{,}65}}\approx 6{,}907.\n
(b) I_1\approx 5{,}705\angle -45^\circ\\ \text{A},\quad V_1\approx 176{,}78\angle -45^\circ\\ \text{V}.\n
I_2\approx 39{,}43\angle -45^\circ\\ \text{A},\quad V_2\approx 25{,}63\angle -45^\circ\\ \text{V}.

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