Exercício 1.
\forall(\mathrm{p}, \mathrm{q}) \in \mathbb{Z}^{2}, \exists \mathrm{k} \in \mathbb{Z},(2 \mathrm{p}+1)(2 \mathrm{q}+1)=2 \mathrm{k}

Passo 1

O enunciado afirma que para quaisquer inteiros p e q existe um inteiro k tal que
(2p+1)(2q+1)=2k.
O conteúdo envolvido é a paridade de inteiros (números pares e ímpares) e a técnica será expandir o produto e verificar sua forma.

Passo 2

Expandimos o produto (2p+1)(2q+1):
(2p+1)(2q+1)=4pq + 2p + 2q + 1.

Passo 3

Agrupamos termos de modo a evidenciar um fator 2:
4pq + 2p + 2q + 1 = 2\bigl(2\,p\,q + p + q\bigr) + 1.

Passo 4

O resultado \,2(2pq+p+q)+1 está na forma “dois vezes um inteiro, mais um”, ou seja, é sempre ímpar. Logo não pode ser escrito como 2k para inteiro k, pois 2k é sempre par.

Passo 5

Para ver que a afirmação “ \forall p,q\;\exists k\in\mathbb{Z} tal que (2p+1)(2q+1)=2k” é falsa, basta um contraexemplo. Tomando p=0 e q=0, temos
(2\cdot0+1)(2\cdot0+1)=1\neq 2k\quad\text{para qualquer }k\in\mathbb{Z},
pois 1=2k implicaria k=\tfrac12\notin\mathbb{Z}.

Resposta

A proposição é falsa. Não existe inteiro k que satisfaça (2p+1)(2q+1)=2k para todos p,q\in\mathbb{Z}.

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