Exercício 1.
\forall(\mathrm{p}, \mathrm{q}) \in \mathbb{Z}^{2}, \exists \mathrm{k} \in \mathbb{Z},(2 \mathrm{p}+1)(2 \mathrm{q}+1)=2 \mathrm{k}
\forall(\mathrm{p}, \mathrm{q}) \in \mathbb{Z}^{2}, \exists \mathrm{k} \in \mathbb{Z},(2 \mathrm{p}+1)(2 \mathrm{q}+1)=2 \mathrm{k}
Passo 1
O enunciado afirma que para quaisquer inteiros
e
existe um inteiro
tal que
O conteúdo envolvido é a paridade de inteiros (números pares e ímpares) e a técnica será expandir o produto e verificar sua forma.
Passo 2
Expandimos o produto
:
Passo 3
Agrupamos termos de modo a evidenciar um fator
:
Passo 4
O resultado
está na forma “dois vezes um inteiro, mais um”, ou seja, é sempre ímpar. Logo não pode ser escrito como
para inteiro
, pois
é sempre par.
Passo 5
Para ver que a afirmação “
tal que
” é falsa, basta um contraexemplo. Tomando
e
, temos
pois
implicaria
.
Resposta
A proposição é falsa. Não existe inteiro
que satisfaça
para todos
.