Exercício 1.
Negação: \exists(p, q) \in \mathbb{Z}^{2}, \forall k \in \mathbb{Z},(2 p+1)(2 q+1) \neq 2 k

Passo 1

O enunciado original é a proposição
\forall (p,q)\in\mathbb{Z}^2,\\ \exists k\in\mathbb{Z}\text{ tal que }(2p+1)(2q+1)=2k.
O que queremos é escrever sua negação. Vamos usar a lógica de quantificadores:
  • \neg(\forall x\,\varphi(x))\equiv\exists x\,\neg\varphi(x);
  • \neg(\exists x\,\varphi(x))\equiv\forall x\,\neg\varphi(x).

Passo 2

Aplicamos primeiro a negação ao quantificador externo:
\neg\bigl[\forall (p,q)\in\mathbb{Z}^2,\;\exists k\in\mathbb{Z}:\,(2p+1)(2q+1)=2k\bigr] \equiv \exists (p,q)\in\mathbb{Z}^2\;\neg\bigl[\exists k\in\mathbb{Z}:\,(2p+1)(2q+1)=2k\bigr].

Passo 3

Agora negamos o quantificador interno:
\neg\bigl[\exists k\in\mathbb{Z}:\,(2p+1)(2q+1)=2k\bigr] \equiv \forall k\in\mathbb{Z}\;\neg\bigl[(2p+1)(2q+1)=2k\bigr].
E \neg[(2p+1)(2q+1)=2k] é (2p+1)(2q+1)\neq2k.

Resposta

\exists\,(p,q)\in\mathbb{Z}^2\;\forall k\in\mathbb{Z}:\;(2p+1)(2q+1)\neq2k.

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