Exercício 5 - Um gerador trifásico, simétrico e equilibrado, alimenta uma carga desequilibrada por meio de uma linha. Sabemos que:
(1) o gerador tem tensão de fase de 220 [V], frequência de 60 [Hz] e sequência de fase inversa;
(2) a linha que conecta gerador e carga é simétrica, ou seja, as impedâncias de linha das três fases tem o mesmo valor, (2+j3) [ \Omega ];
(3) a impedância de aterramento do sistema tem valor igual ao das impedâncias da linha;
(4) as impedâncias da carga tem os seguintes valores: Z_{A}=5-j 2[\Omega], Z_{B}=4+j 1[\Omega] e Z_{C}=5+j 2[\Omega].
Pede-se:
(a) o valor da corrente que circula pelo fio de retorno (neutro).
(b) os valores das correntes de linha.
(c) os valores das tensões de fase na carga.
(d) os valores das tensões de linha na carga.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um gerador trifásico simétrico, de sequência inversa (negativa), com tensão de fase de 220 V e frequência de 60 Hz, alimentando uma carga desequilibrada por meio de uma linha cujas três fases têm impedância Z_{\text{linha}}=2+j3\\ \Omega e a impedância de aterramento Z_{n}=2+j3\\ \Omega. As impedâncias da carga são
Z_A=5-j2,\quad Z_B=4+j1,\quad Z_C=5+j2\quad[\Omega].
O sistema é estrela de quatro fios (três fases mais neutro). Como a carga é desequilibrada, o nó neutro da carga (chamado N') pode deslocar-se em relação ao neutro do gerador ( N). Vamos usar análise nodal em N' para encontrar, em sequência, (a) a corrente do neutro, (b) as correntes de linha, (c) as tensões de fase na carga e (d) as tensões de linha na carga.

Passo 2

Calcular as impedâncias totais de cada fase desde o gerador até o nó N':
Z_{tA}=Z_{\text{linha}}+Z_A=(2+j3)+(5-j2)=7+j1,
Z_{tB}=(2+j3)+(4+j1)=6+j4,
Z_{tC}=(2+j3)+(5+j2)=7+j5.
Em seguida, as admitâncias correspondentes são
Y_{tA}=\frac1{7+j1}=0{,}14-j0{,}02, \quad Y_{tB}=\frac1{6+j4}\approx0{,}1154-j0{,}0769, \quad Y_{tC}=\frac1{7+j5}\approx0{,}0946-j0{,}0676,
e a admitância do neutro
Y_n=\frac1{2+j3}\approx0{,}1538-j0{,}2308.

Passo 3

Escrevemos a equação nodal em N', onde V_n é o potencial de N' em relação ao neutro do gerador:
(V_n - U_{aN})\,Y_{tA} \;+\;(V_n - U_{bN})\,Y_{tB}\;+\;(V_n - U_{cN})\,Y_{tC}\;+\;V_n\,Y_n =0.
Como o gerador é de sequência inversa, tomamos
U_{aN}=220\angle0^\circ,\quad U_{bN}=220\angle120^\circ,\quad U_{cN}=220\angle-120^\circ.
Resolvendo para V_n, obtemos
V_n\approx28{,}32\angle96{,}6^\circ\text{ V}.

Passo 4

A corrente do fio neutro (do nó N' para o neutro do gerador) é
I_n=\frac{V_n-0}{Z_n} =\frac{28{,}32\angle96{,}6^\circ}{2+j3} \approx7{,}86\angle40{,}3^\circ\text{ A}.

Passo 5

Cada corrente de linha sai do gerador e chega em N' pela respectiva fase. Por exemplo,
I_A=\frac{U_{aN}-V_n}{Z_{tA}}, \quad I_B=\frac{U_{bN}-V_n}{Z_{tB}}, \quad I_C=\frac{U_{cN}-V_n}{Z_{tC}}.
Calculando, achamos
I_A\approx31{,}82\angle-15{,}33^\circ\text{ A}, \quad I_B\approx26{,}93\angle90{,}00^\circ\text{ A}, \quad I_C\approx28{,}28\angle-151{,}54^\circ\text{ A}.

Passo 6

As tensões de fase na carga (tensão fase–neutro em cada ponto de carga) são
V_{AN}=V_n + I_A\,Z_A, \quad V_{BN}=V_n + I_B\,Z_B, \quad V_{CN}=V_n + I_C\,Z_C.
Substituindo, obtemos
V_{AN}\approx183{,}2\angle-23{,}98^\circ\text{ V}, \quad V_{BN}\approx139{,}2\angle102{,}48^\circ\text{ V}, \quad V_{CN}\approx134{,}4\angle-138{,}20^\circ\text{ V}.

Passo 7

Por fim, as tensões de linha na carga (diferença entre tensões de fase) são
V_{AB}=V_{AN}-V_{BN},\quad V_{BC}=V_{BN}-V_{CN},\quad V_{CA}=V_{CN}-V_{AN}.
Calculando, resulta
V_{AB}\approx289{,}1\angle-46{,}0^\circ\text{ V}, \quad V_{BC}\approx235{,}0\angle72{,}5^\circ\text{ V}, \quad V_{CA}\approx268{,}4\angle-177{,}2^\circ\text{ V}.

Resposta

(a) I_n\approx7{,}86\angle40{,}3^\circ A
(b) I_A\approx31{,}82\angle-15{,}33^\circ A, I_B\approx26{,}93\angle90{,}00^\circ A, I_C\approx28{,}28\angle-151{,}54^\circ A
(c) V_{AN}\approx183{,}2\angle-23{,}98^\circ V, V_{BN}\approx139{,}2\angle102{,}48^\circ V, V_{CN}\approx134{,}4\angle-138{,}20^\circ V
(d) V_{AB}\approx289{,}1\angle-46{,}0^\circ V, V_{BC}\approx235{,}0\angle72{,}5^\circ V, V_{CA}\approx268{,}4\angle-177{,}2^\circ V

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