Exercício 4 - Um gerador trifásico alimenta por meio de uma linha equilibrada uma carga trifásica equilibrada. Conhecemos:
(1) o tipo de ligação do gerador ( \Delta ) e da carga ( \Delta );
(2) a tensão de linha do gerador ( 220 [V]), a frequência ( 60 [Hz]) e a sequência de fase (inversa);
(3) a impedância de cada um dos ramos da carga ( 7+\mathrm{j} 5[\Omega] );
(4) a resistência (0,92[\Omega]) e a indutância (0,8[\mathrm{mH}]) de cada fio da linha.
Pede-se:
(a) as tensões de fase e de linha do gerador;
(b) as correntes de linha;
(c) as correntes de fase na carga;
(d) as tensões de fase e de linha na carga;
(e) o diagrama de fasores.

Passo 1

O enunciado descreve um gerador trifásico em ligação \Delta alimentando, por meio de uma linha equilibrada, uma carga também em ligação \Delta. Sabemos a tensão de linha no gerador ( 220[V]), a frequência ( 60[Hz]) e sequência inversa de fases, a impedância de cada ramo da carga ( 7 + j5[ \Omega]) e a resistência e indutância de cada fio da linha ( R=0{,}92[ \Omega], L=0{,}8[mH]). Vamos usar teoria de circuitos trifásicos balanceados em \Delta e relações entre correntes e tensões em ligação delta para achar:
(a) tensões de fase e de linha do gerador;
(b) correntes de linha no gerador;
(c) correntes de fase na carga;
(d) tensões de fase e de linha na carga;
(e) diagrama de fasores.

Passo 2

Em ligação \Delta a tensão de fase do gerador coincide com a tensão de linha. Logo,
V_{\varphi,\text{ger}} \;=\; V_{L,\text{ger}} \;=\; 220\text{ V}.

Passo 3

Calculamos a impedância de cada fio da linha em série:
Z_{\text{fio}} = R + j\omega L = 0{,}92 + j\bigl(2\pi\cdot60\cdot0{,}8\times10^{-3}\bigr) = 0{,}92 + j0{,}3016\\ \Omega.

Passo 4

A impedância total de cada ramo (gerador–fio–carga) é
Z_{\text{tot}} = Z_{\text{fio}} + Z_{\text{carga}} = (0{,}92 + j0{,}3016) + (7 + j5) = 7{,}92 + j5{,}3016\\ \Omega,
com módulo \lvert Z_{\text{tot}}\rvert\approx9{,}533\\ \Omega e ângulo \angle Z_{\text{tot}}\approx33{,}46^\circ. A corrente de fase no ramo AB do gerador é
I_{AB} = \frac{V_{AB}}{Z_{\text{tot}}} = \frac{220\angle0^\circ}{9{,}533\angle33{,}46^\circ} \approx 23{,}08\angle(-33{,}46^\circ)\text{ A}.
Pelas sequência inversa,
I_{BC} = 23{,}08\angle(120^\circ - 33{,}46^\circ) =23{,}08\angle86{,}54^\circ, \quad I_{CA} = 23{,}08\angle(-120^\circ -33{,}46^\circ) =23{,}08\angle(-153{,}46^\circ).

Passo 5

As correntes de linha na ligação \Delta vêm da diferença entre correntes de ramo:
I_a = I_{AB} - I_{CA},\quad I_b = I_{BC} - I_{AB},\quad I_c = I_{CA} - I_{BC}.
Em particular,
I_a \approx 23{,}08\angle(-33{,}46^\circ)\;-\;23{,}08\angle(-153{,}46^\circ) \approx 40{,}02\angle(-3{,}58^\circ)\text{ A}.
Por simetria, \lvert I_b\rvert=\lvert I_c\rvert=40{,}02 A com defasagens de -123{,}58^\circ e +116{,}42^\circ, respectivamente.

Passo 6

Calculamos a queda de tensão em cada fio:
V_{\text{queda},AB} = I_{AB}\,Z_{\text{fio}} =23{,}08\angle(-33{,}46^\circ)\times0{,}98\angle17{,}99^\circ \approx22{,}62\angle(-15{,}47^\circ)\text{ V}.
Então a tensão de fase na carga é
V_{AB,\text{carga}} = V_{AB,\text{ger}} - V_{\text{queda},AB} \approx 220\angle0^\circ - 22{,}62\angle(-15{,}47^\circ) \approx198{,}24\angle1{,}75^\circ\text{ V}.
Em \Delta, a tensão de linha na carga também vale 198{,}24\angle1{,}75^\circ V.

Passo 7

A corrente de fase em cada ramo da carga é
I_{AB,\text{carga}} = \frac{V_{AB,\text{carga}}}{Z_{\text{carga}}} = \frac{198{,}24\angle1{,}75^\circ}{8{,}602\angle35{,}54^\circ} \approx23{,}03\angle(-33{,}79^\circ)\text{ A},
e, pelas rotações de 120^\circ na sequência inversa, obtemos I_{BC,\text{carga}} e I_{CA,\text{carga}} de mesmo módulo.

Passo 8

Diagrama de fasores (sequência inversa, rotação horário):
– Tensão V_{AB} de referência em 0^\circ,
V_{BC} a +120^\circ, V_{CA} a -120^\circ.
– Corrente de fase I_{AB,\text{carga}} defasada \approx33{,}8^\circ atrás de V_{AB,\text{carga}}.
– Corrente de linha I_a\approx40{,}02\angle(-3{,}58^\circ) fica entre os fasores I_{AB} e I_{CA} conforme a regra em \Delta.

Resposta

(a) V_{L,\text{ger}}=V_{\varphi,\text{ger}}=220 V.
(b) \lvert I_a\rvert=\lvert I_b\rvert=\lvert I_c\rvert\approx40{,}02 A, com \angle I_a\approx-3{,}58^\circ.
(c) \lvert I_{AB,\text{carga}}\rvert\approx23{,}03 A, \angle I_{AB,\text{carga}}\approx-33{,}79^\circ (e fases deslocadas de \pm120^\circ).
(d) V_{\varphi,\text{carga}}=V_{L,\text{carga}}\approx198{,}24\angle1{,}75^\circ V.
(e) Fasores de tensão em 0^\circ,+120^\circ,-120^\circ, correntes de fase defasadas ~ 33{,}8^\circ atrás e correntes de linha conforme diferença em \Delta.

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