Exercício 3 - Um gerador trifásico alimenta por meio de uma linha equilibrada uma carga trifásica equilibrada. Conhecemos:
(1) o tipo de ligação do gerador ( \Delta ) e da carga ( \Delta );
(2) a tensão de fase, V_{A N}=380<-30^{\circ}[V], do gerador, a frequência (60 [Hz]) e a sequência de fase (inversa);
(3) a impedância de cada um dos ramos da carga ( 5+\mathrm{j} 2,5[\Omega] );
(4) a resistência (0,20[\Omega]) e a reatância indutiva (0,15[\Omega]) de cada fio da linha.
Pede-se:
(a) as tensões de fase e de linha do gerador;
(b) as correntes de linha;
(c) as correntes de fase na carga;
(d) as tensões de fase e de linha na carga;
(e) o diagrama de fasores.

Passo 1

O enunciado descreve um gerador trifásico em ∆, com tensão de fase (igual à tensão de linha em ∆) \,V_{AN}=380\angle -30^\circ\rm\,V, sequência inversa (A→C→B), alimentando por uma linha equilibrada (cada fase com R=0,20,Ω e X_L=0,15,Ω) uma carga equilibrada em ∆, cujas impedâncias de fase são Z_\text{carga}=5+j2,5,Ω.
Precisamos achar:
(a) tensões de fase e de linha no gerador;
(b) correntes de linha;
(c) correntes de fase na carga;
(d) tensões de fase e de linha na carga;
(e) diagrama de fasores.

Passo 2

Determinar as tensões de fase e de linha no gerador.
  1. Como é ∆, a tensão de fase apresentada ( V_{AN}) coincide com a tensão de linha entre A e B e C, mas vamos explicitar as três fases usando sequência inversa (A→C→B):
V_{AN}=380\angle -30^\circ\rm\,V, \quad V_{CN}=V_{AN}\angle -120^\circ=380\angle -150^\circ\rm\,V, \quad V_{BN}=V_{CN}\angle -120^\circ=380\angle 90^\circ\rm\,V.
  1. As tensões de linha (∆) são
V_{AB}=V_{AN}-V_{BN},\quad V_{BC}=V_{BN}-V_{CN},\quad V_{CA}=V_{CN}-V_{AN}.
Fazendo o cálculo vetorial (ou usando |V_{LL}|=\sqrt3\,|V_{F}| e deslocamentos de 30^\circ), obtemos
|V_{LL}|=\sqrt3\times380\approx658\rm\,V,
e
V_{AB}=658\angle -60^\circ\rm\,V, \quad V_{BC}=658\angle 60^\circ\rm\,V, \quad V_{CA}=658\angle 180^\circ\rm\,V.

Passo 3

Calcular as correntes de fase da carga e, a partir delas, as correntes de linha.
  1. Cada ramo ∆ da carga vê V_{AB} em suas extremidades e dois ramos de linha em série:
Z_\ell=0,20+j0,15\quad\Longrightarrow\quad 2Z_\ell=0,40+j0,30\rm\,\Omega,
Z_\text{loop}=2Z_\ell+Z_\text{carga}=(0,40+j0,30)+(5+j2,5)=5,40+j2,80\rm\,\Omega.
  1. A corrente no ramo AB da carga é
I_{AB}=\frac{V_{AB}}{Z_\text{loop}} =\frac{658\angle -60^\circ}{5,40+j2,80} \approx108,2\angle -87,5^\circ\rm\,A.
Pela sequência inversa, os outros são
I_{BC}=108,2\angle ( -87,5^\circ -120^\circ) =108,2\angle -207,5^\circ,
I_{CA}=108,2\angle (-87,5^\circ +120^\circ) =108,2\angle 32,5^\circ.
  1. Em ∆, a corrente de linha I_A é a diferença entre as correntes dos dois ramos que saem do nó A:
I_A=I_{AB}-I_{CA} \approx187,4\angle -57,0^\circ\rm\,A.
Analogamente,
I_B=187,4\angle ( -57,0^\circ -120^\circ) =187,4\angle -177,0^\circ,
I_C=187,4\angle ( -57,0^\circ +120^\circ) =187,4\angle 63,0^\circ.

Passo 4

Encontrar as tensões de fase e de linha na carga.
  1. A tensão de fase no ramo AB da carga é a queda em Z_\text{carga}:
V_{AB}^{(\text{load})}=I_{AB}\,Z_\text{carga} =108,2\angle -87,5^\circ\times5,59\angle 26,6^\circ \approx605\angle -60,9^\circ\rm\,V.
  1. Como em ∆ a tensão de fase é a tensão de linha, temos
V_{AB}^{(\text{load})}=605\angle -61^\circ\rm\,V, \quad V_{BC}^{(\text{load})}=605\angle 59^\circ\rm\,V, \quad V_{CA}^{(\text{load})}=605\angle -181^\circ\rm\,V.
(ou seja, |V_{LL}^{(\text{load})}|=605,V e deslocamentos de 120^\circ).

Passo 5

Esboçar o diagrama de fasores.
  • Trace três vetores de V_{AN},V_{BN},V_{CN} separados de 120^\circ, com V_{AN}=380\angle -30^\circ.
  • A partir deles desenhe os vetores V_{AB},V_{BC},V_{CA} de magnitude 658\rm\,V.
  • Desenhe as correntes de linha I_A,I_B,I_C (magnitudes 187,4\rm\,A, deslocamentos conforme calculado).
  • Finalmente, represente os vetores de I_{AB},I_{BC},I_{CA} e de V_{AB}^{(\text{load})}.

Resposta

(a) No gerador em ∆:
V_{AN}=380\angle -30^\circ\rm\,V,\;V_{BN}=380\angle90^\circ\rm\,V,\;V_{CN}=380\angle -150^\circ\rm\,V;
V_{AB}=658\angle -60^\circ\rm\,V,\;V_{BC}=658\angle60^\circ\rm\,V,\;V_{CA}=658\angle180^\circ\rm\,V.
(b) Correntes de linha:
I_A=187,4\angle -57,0^\circ\rm\,A,\;I_B=187,4\angle -177,0^\circ\rm\,A,\;I_C=187,4\angle63,0^\circ\rm\,A.
(c) Correntes de fase na carga:
I_{AB}=108,2\angle -87,5^\circ\rm\,A,\;I_{BC}=108,2\angle -207,5^\circ\rm\,A,\;I_{CA}=108,2\angle32,5^\circ\rm\,A.
(d) Tensões na carga (∆):
V_{AB}=605\angle -61^\circ\rm\,V,\;V_{BC}=605\angle59^\circ\rm\,V,\;V_{CA}=605\angle -181^\circ\rm\,V.
(e) Diagrama de fasores conforme descrito.

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