Exercício 2. Há assíntotas horizontais ou verticais para a função f(x) do exercício anterior? Em caso afirmativo exiba os pontos onde ocorrem tais assíntotas, comprovando este fato via limite.

Passo 1

O enunciado pergunta se há assíntotas horizontais ou verticais para a função f(x) do exercício anterior, e pede que, em caso afirmativo, se exibam os pontos onde ocorrem tais assíntotas e se comprove isso via limites.
Informações fornecidas no enunciado que eu tenho aqui: nenhuma — a função f referida não foi enviada nem sua expressão, nem seu gráfico, nem seu domínio. Portanto não há dados concretos para calcular limites específicos ou apontar pontos numéricos onde ocorram assíntotas. Conclusão imediata: com a informação atual não é possível determinar as assíntotas de uma função inexistente neste enunciado.

Passo 2

Apesar de não poder calcular para a função específica (porque ela não foi dada), vou te ensinar passo a passo como você deve proceder na prova para identificar e provar a existência de assíntotas verticais. Primeiro a definição e o método.
Definição (assíntota vertical): dizemos que x=a é uma assíntota vertical da função f se pelo menos uma das duas afirmações é verdadeira:
\lim_{x\to a^-} f(x) = \pm\infty \qquad\text{ou}\qquad \lim_{x\to a^+} f(x)=\pm\infty.
O que isso significa em palavras simples: se ao aproximarmos x de a pela esquerda ou pela direita os valores de f(x) crescem sem limite (tendem a +\infty ou a -\infty), então a reta vertical x=a é uma assíntota vertical.
Procedimento prático na prova:
  1. Determine o domínio de f e identifique pontos onde f está indefinida — por exemplo zeros do denominador em funções racionais, pontos onde o argumento de um log é zero ou negativo, etc. Esses são candidatos a a.
  2. Para cada candidato a, calcule \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x).
  3. Se pelo menos uma dessas duas for +\infty ou -\infty, conclua que x=a é assíntota vertical e escreva a prova com os limites.

Passo 3

Exemplo didático de assíntota vertical (aplica o procedimento acima): considere
f(x)=\frac{1}{x-2}.
  1. O domínio é x\neq 2, então x=2 é candidato.
  2. Calcule os limites laterais:
\lim_{x\to 2^-}\frac{1}{x-2} = -\infty, \qquad \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{x-2} = +\infty.
Justificação rápida: se x aproxima 2 pela esquerda, x-2 é um número pequeno e negativo, então 1/(x-2) é um grande número negativo; pela direita é grande positivo.
3. Conclusão: x=2 é uma assíntota vertical de f.

Passo 4

Agora assíntotas horizontais. Definição e método.
Definição (assíntota horizontal): dizemos que y=L é uma assíntota horizontal de f se
\lim_{x\to +\infty} f(x) = L \qquad\text{ou}\qquad \lim_{x\to -\infty} f(x) = L.
Em palavras: se os valores de f(x) se aproximam de um número finito L quando x vai para +\infty ou para -\infty, então a reta horizontal y=L é assíntota horizontal (pode haver assíntota só para +\infty, só para -\infty, ou para ambos).
Procedimento prático na prova:
  1. Calcule \lim_{x\to +\infty} f(x) e \lim_{x\to -\infty} f(x).
  2. Se algum desses limites existir e for finito igual a L, escreva que y=L é assíntota horizontal (especifique para qual infinito: +\infty, -\infty ou ambos).
  3. Para funções racionais, use a comparação dos graus do numerador e do denominador: se grau(num) < grau(den) então limite é 0; se graus iguais, limite é razão dos coeficientes principais; se grau(num) = grau(den)+1 pode haver assíntota oblíqua (não horizontal) e aí faz divisão polinomial.

Passo 5

Exemplo didático de assíntota horizontal: considere
g(x)=\frac{2x^{2}+1}{x^{2}+3}.
Para x\to\pm\infty, divida numerador e denominador por x^{2}:
g(x)=\frac{2+\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{3}{x^{2}}}.
Ao fazer x\to\infty ou x\to -\infty, os termos \dfrac{1}{x^{2}} e \dfrac{3}{x^{2}} tendem a 0. Assim
\lim_{x\to\infty} g(x) = \frac{2+0}{1+0}=2, \qquad \lim_{x\to -\infty} g(x)=2.
Portanto y=2 é assíntota horizontal de g (para ambos os sentidos).

Passo 6

Algumas dicas e casos frequentes que costumam aparecer na prova:
  • Função racional p(x)/q(x): compare os graus. Se grau (p)<grau (q) então y=0 é assíntota horizontal. Se graus iguais, assíntota horizontal em y= razão dos coeficientes principais. Se grau (p)=grau (q)+1, então procure assíntota oblíqua fazendo divisão polinomial; o quociente (linear) é a equação da assíntota oblíqua.
  • Zeros do denominador são os primeiros candidatos a assíntotas verticais, mas atenção: se uma fatoração simplifica e cancela, pode haver um buraco removível em vez de assíntota; por isso sempre verifique se o infinito persiste após simplificação.
  • Para funções com exponenciais, logaritmos, trigonométricas, faça limites específicos: por exemplo \lim_{x\to\infty} e^{-x}=0 (contribui para horizontais), log cresce sem limite, etc.
  • Ao demonstrar na prova, sempre escreva os limites com justificativa curta (por ex. divisão por maior potência, comportamento de termos dominantes, sinal do denominador ao aproximar-se pelo lado esquerdo/direito).

Passo 7

Resumo objetivo do que você faria se tivesse a expressão de f:
  1. Encontre o domínio e identifique pontos onde f não está definida. Teste limites laterais nesses pontos para detectar assíntotas verticais.
  2. Calcule \lim_{x\to+\infty} f(x) e \lim_{x\to -\infty} f(x). Se algum for finito, esse valor é uma assíntota horizontal y=L.
  3. Se necessário, faça simplificações algébricas (fatoração, divisão polinomial) antes de tirar conclusões (para distinguir buracos removíveis de assíntotas).
  4. Escreva cada conclusão acompanhada do cálculo do limite que a justifica (isso é o que o enunciado pede: “comprovando via limite”).

Resposta

Não é possível determinar: a função f não foi fornecida, logo não há como exibir pontos de assíntota nem prová-los via limites.

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