Exercício 4. Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende para mais infinito:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função a ser avaliada no limite é
. - A variável
tende para (ou seja, para valores muito grandes positivos).
Não há outros dados numéricos ou imagens.
Passo 2
Primeira observação útil: analisar o comportamento do argumento interno da função cosseno, isto é, da função
Vou calcular
. Para
temos
quando
, portanto o quociente
tende a zero. Em termos simples: dividir uma constante por um número que cresce sem limite dá zero. Formalizando de modo elementar, pode-se notar que para
e como
, pelo princípio do confronto (squeeze) vem
Passo 3
Agora preciso relacionar o limite do argumento com o limite da composição com o cosseno. Existe uma propriedade muito prática (e padrão nas provas): se uma função
tende a um número
quando
tende a um ponto, e
é contínua em
, então
Aqui a função
é
e sabemos que o cosseno é contínuo em todo ponto real (uma forma intuitiva de ver isso é que pequenas variações em
causam pequenas variações em
; tecnicamente
é diferenciável, logo contínua). Em particular,
é contínua em
.
Passo 4
Aplicando a propriedade de composição de limites: como já vimos que
e
é contínuo em
, segue que
E como
, obtemos o valor do limite.
Passo 5
Resumo e intuição final (pequeno reforço estilo amigo): quando
fica muito grande,
fica muito próximo de zero, e o cosseno de um número muito pequeno fica muito próximo de
. Portanto o limite é
.
Resposta
1