Exercício 4. Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \cos \left(\frac{2}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende para mais infinito:
\lim_{x\rightarrow+\infty} \cos\!\left(\frac{2}{x^{2}}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função a ser avaliada no limite é \cos\!\left(\dfrac{2}{x^{2}}\right).
  • A variável x tende para +\infty (ou seja, para valores muito grandes positivos).
    Não há outros dados numéricos ou imagens.

Passo 2

Primeira observação útil: analisar o comportamento do argumento interno da função cosseno, isto é, da função
g(x)=\frac{2}{x^{2}}.
Vou calcular \lim_{x\to+\infty} g(x). Para x>0 temos x^{2}\to+\infty quando x\to+\infty, portanto o quociente \dfrac{2}{x^{2}} tende a zero. Em termos simples: dividir uma constante por um número que cresce sem limite dá zero. Formalizando de modo elementar, pode-se notar que para x\geq 1
0<\frac{2}{x^{2}}\le \frac{2}{x},
e como \lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x}=0, pelo princípio do confronto (squeeze) vem
\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x^{2}}=0.

Passo 3

Agora preciso relacionar o limite do argumento com o limite da composição com o cosseno. Existe uma propriedade muito prática (e padrão nas provas): se uma função g(x) tende a um número L quando x tende a um ponto, e f é contínua em L, então
\lim_{x\to \text{ponto}} f\big(g(x)\big)=f(L).
Aqui a função f é f(t)=\cos t e sabemos que o cosseno é contínuo em todo ponto real (uma forma intuitiva de ver isso é que pequenas variações em t causam pequenas variações em \cos t; tecnicamente \cos é diferenciável, logo contínua). Em particular, f é contínua em L=0.

Passo 4

Aplicando a propriedade de composição de limites: como já vimos que
\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x^{2}}=0
e \cos é contínuo em 0, segue que
\lim_{x\rightarrow+\infty} \cos\!\left(\frac{2}{x^{2}}\right)=\cos\!\big(0\big).
E como \cos(0)=1, obtemos o valor do limite.

Passo 5

Resumo e intuição final (pequeno reforço estilo amigo): quando x fica muito grande, \dfrac{2}{x^{2}} fica muito próximo de zero, e o cosseno de um número muito pequeno fica muito próximo de \cos 0=1. Portanto o limite é 1.

Resposta

1

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