Exercício 8.1.2. Inverta a ordem de integração:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[\int_{\operatorname{sen}(x)}^{\cos (x)} f(x, y) d y\right] d x.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\Bigl[\int_{\sin(x)}^{\cos(x)}f(x,y)\,dy\Bigr]dx.
O conteúdo aqui é cálculo de integrais duplas e mudança da ordem de integração, o que exige descrever a região
R=\bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le\tfrac{\pi}{4},\;\sin(x)\le y\le\cos(x)\bigr\}
no plano xy.

Passo 2

Vamos entender R graficamente. Para x de 0 a \tfrac{\pi}{4}:
– a curva y=\sin(x) cresce de 0 até \tfrac{\sqrt2}{2};
– a curva y=\cos(x) decresce de 1 até \tfrac{\sqrt2}{2}.
Logo R é o conjunto de pontos entre essas duas curvas, para x\in[0,\pi/4].

Passo 3

O menor valor de y em R é \min_{x} \sin(x)=0 (em x=0) e o maior é \max_{x}\cos(x)=1 (em x=0). Então, ao inverter, teremos y variando de 0 a 1.

Passo 4

Para um y fixo em [0,1], achamos quais x satisfazem \sin(x)\le y\le\cos(x) com 0\le x\le\tfrac\pi4.
  1. Se 0\le y\le\tfrac{\sqrt2}{2}, então y\le\cos(x) vale para todo x\in[0,\tfrac\pi4], e a condição não é restritiva. A restrição vem de \sin(x)\le y, isto é x\le\arcsin(y). Como \arcsin(y)\le\tfrac\pi4, obtemos
0\le x\le\arcsin(y).
  1. Se \tfrac{\sqrt2}{2}\le y\le1, então \sin(x)\le y vale para todo x\in[0,\tfrac\pi4], e a condição não é restritiva. A restrição vem de \cos(x)\ge y, isto é x\le\operatorname{arccos}(y). Como \operatorname{arccos}(y)\le\tfrac\pi4, obtemos
0\le x\le\operatorname{arccos}(y).

Passo 5

Com isso, a integral original se escreve como a soma de duas integrais em y:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\!\!\int_{\sin(x)}^{\cos(x)}f(x,y)\,dy\,dx =\int_{0}^{\frac{\sqrt2}{2}}\!\!\int_{0}^{\arcsin(y)}f(x,y)\,dx\,dy +\int_{\frac{\sqrt2}{2}}^{1}\!\!\int_{0}^{\operatorname{arccos}(y)}f(x,y)\,dx\,dy.

Resposta

\boxed{ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\!\!\int_{\sin(x)}^{\cos(x)}f(x,y)\,dy\,dx = \int_{0}^{\frac{\sqrt2}{2}}\!\!\int_{0}^{\arcsin(y)}f(x,y)\,dx\,dy + \int_{\frac{\sqrt2}{2}}^{1}\!\!\int_{0}^{\operatorname{arccos}(y)}f(x,y)\,dx\,dy }.

Exercícios relacionados