Exercício 8.1.2. Inverta a ordem de integração:
.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
O conteúdo aqui é cálculo de integrais duplas e mudança da ordem de integração, o que exige descrever a região
no plano
.
Passo 2
Vamos entender
graficamente. Para
de
a
:
– a curva cresce de
até
;
– a curva decresce de
até
.
Logo é o conjunto de pontos entre essas duas curvas, para
.
– a curva
– a curva
Logo
Passo 3
O menor valor de
em
é
(em
) e o maior é
(em
). Então, ao inverter, teremos
variando de
a
.
Passo 4
Para um
fixo em
, achamos quais
satisfazem
com
.
- Se
, então vale para todo , e a condição não é restritiva. A restrição vem de , isto é . Como , obtemos
- Se
, então vale para todo , e a condição não é restritiva. A restrição vem de , isto é . Como , obtemos
Passo 5
Com isso, a integral original se escreve como a soma de duas integrais em
: