Exercício 8.1.2. Inverta a ordem de integração:
\int_{1}^{e}\left[\int_{\ln (x)}^{x} f(x, y) d y\right] d x.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
\int_{1}^{e}\Bigl[\int_{\ln(x)}^{x}f(x,y)\,dy\Bigr]dx.
Aqui o conteúdo é interpretação geométrica de domínio em integração dupla. Vamos identificar a região de integração em termos de (x,y) e, em seguida, descrever essa região trocando a ordem dx\,dy.

Passo 2

Definimos a região
D = \{(x,y)\mid 1\le x\le e,\;\ln(x)\le y\le x\}.
No plano xy, as curvas de fronteira são y=\ln(x) (que passa por (1,0) e sobe lentamente) e y=x (reta de 45°). A interseção dessas curvas ocorre quando \ln(x)=x, isto é, x=e \ln(e)=1, mas 1\ne e. Na verdade não há interseção além de considerar o domínio 1\le x\le e. As extremidades relevantes são:
  • Em x=1: y varia de \ln(1)=0 até 1.
  • Em x=e: y varia de \ln(e)=1 até e.

Passo 3

Para inverter, projetamos D no eixo y. O menor valor de y em D é y=0 (em (1,0)) e o maior é y=e (em (e,e)). Assim y varia de 0 até e.
Agora, para um y fixo em [0,e], precisamos achar os valores de x que satisfazem simultaneamente
1\le x\le e,\quad \ln(x)\le y,\quad y\le x.

Passo 4

Analisamos dois casos conforme o valor de y:
  1. Para 0\le y\le1:
    • A condição \ln(x)\le y equivale a x\le e^y.
    • A condição y\le x é sempre satisfeita para todo x\ge1, pois y\le1.
    • Logo x varia de 1 até e^y.
  2. Para 1\le y\le e:
    • Aqui e^y\ge e, então a condição x\le e^y é redundante perante x\le e.
    • A condição y\le x passa a ser relevante, forçando x\ge y.
    • Logo x varia de y até e.

Passo 5

Com isso, a integral trocada de ordem fica como soma de duas integrais em y:
\int_{1}^{e}\Bigl[\int_{\ln(x)}^{x}f(x,y)\,dy\Bigr]dx =\int_{y=0}^{1}\Bigl[\int_{x=1}^{e^y}f(x,y)\,dx\Bigr]dy +\int_{y=1}^{e}\Bigl[\int_{x=y}^{e}f(x,y)\,dx\Bigr]dy.

Resposta

\int_{1}^{e}\Bigl[\int_{\ln(x)}^{x}f(x,y)\,dy\Bigr]dx =\int_{0}^{1}\Bigl[\int_{1}^{e^y}f(x,y)\,dx\Bigr]dy +\int_{1}^{e}\Bigl[\int_{y}^{e}f(x,y)\,dx\Bigr]dy.

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