Exercício 8.1.2. Inverta a ordem de integração:
.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
Aqui o conteúdo é interpretação geométrica de domínio em integração dupla. Vamos identificar a região de integração em termos de
e, em seguida, descrever essa região trocando a ordem
.
Passo 2
Definimos a região
No plano
, as curvas de fronteira são
(que passa por
e sobe lentamente) e
(reta de 45°). A interseção dessas curvas ocorre quando
, isto é,
dá
, mas
. Na verdade não há interseção além de considerar o domínio
. As extremidades relevantes são:
- Em
: varia de até . - Em
: varia de até .
Passo 3
Para inverter, projetamos
no eixo
. O menor valor de
em
é
(em
) e o maior é
(em
). Assim
varia de
até
.
Agora, para um
fixo em
, precisamos achar os valores de
que satisfazem simultaneamente
Passo 4
Analisamos dois casos conforme o valor de
:
-
Para
: - A condição
equivale a . - A condição
é sempre satisfeita para todo , pois . - Logo
varia de até .
- A condição
-
Para
: - Aqui
, então a condição é redundante perante . - A condição
passa a ser relevante, forçando . - Logo
varia de até .
- Aqui
Passo 5
Com isso, a integral trocada de ordem fica como soma de duas integrais em
: