Exercício 4. Julgue as alternativas abaixo em Verdadeiro ou Falso:
a) Todo número divisível por 4 é divisível por 8.
b) Todo número divisível por 6 é divisível por 3 e par.
c) Todo número divisível por 8 é divisível por 2 .
d) O número formado 111 \ldots 11 formado por um número par de algarismos 1 é sempre divisível por 11 .
e) O número 871 é primo.
f) Existem 100 números inteiros positivos consecutivos, todos compostos.
g) Se um número inteiro a divide o produto b c de dois números inteiros, então ele necessariamente divide b ou c.
h) O número 152790 é divisível por 6
i) O número 12551 é divisível por 7
j) O número 179262720 é divisível por 8 e 9

Passo 1

O enunciado pede que eu julgue cada alternativa a)–j) como Verdadeiro ou Falso. Vou listar claramente cada enunciado que preciso avaliar:
  • (a) Todo número divisível por 4 é divisível por 8.
  • (b) Todo número divisível por 6 é divisível por 3 e par.
  • (c) Todo número divisível por 8 é divisível por 2.
  • (d) O número formado 111\ldots11 com um número par de algarismos 1 é sempre divisível por 11.
  • (e) O número 871 é primo.
  • (f) Existem 100 números inteiros positivos consecutivos, todos compostos.
  • (g) Se um número inteiro a divide o produto bc de dois inteiros, então necessariamente a divide b ou c.
  • (h) O número 152790 é divisível por 6.
  • (i) O número 12551 é divisível por 7.
  • (j) O número 179262720 é divisível por 8 e 9.
Eu vou verificar cada item, explicando passo a passo os testes de divisibilidade e oferecendo exemplos ou contraexemplos quando necessário.

Passo 2

Conceitos e testes de divisibilidade essenciais (mini-aula rápida e prática):
  • Definição: Para inteiros, dizemos que a divide b e escrevemos a\mid b se existe um inteiro k tal que b = a\cdot k.
  • Testes práticos que vou usar:
    • Divisibilidade por 2: basta olhar o último algarismo; se for 0,2,4,6,8 então é divisível por 2.
    • Divisibilidade por 3: somar os dígitos; se a soma for múltipla de 3, então o número é divisível por 3.
    • Divisibilidade por 9: somar os dígitos; se a soma for múltipla de 9, então o número é divisível por 9.
    • Divisibilidade por 4: basta verificar os dois últimos dígitos (ou dividir por 4).
    • Divisibilidade por 8: verificar os três últimos dígitos (ou dividir por 8).
    • Divisibilidade por 6: é necessário e suficiente ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
    • Divisibilidade por 11: regra do sinal alternado: somar os algarismos em posições pares e ímpares e tomar a diferença; se a diferença for múltipla de 11 (incluindo 0), então o número é divisível por 11.
    • Divisibilidade por 7: não há um teste tão simples e curto como para 2,3,5,9,11; costuma-se dividir ou usar métodos modulares. Quando possível, faço divisão ou encontro um fator.
  • Primos e produto: se p é primo e p\mid bc, então p\mid b ou p\mid c (lema de Euclides). Para a geral (não necessariamente primo) isso não vale: podemos ter a\mid bc sem que a\mid b nem a\mid c.
    Esses instrumentos são suficientes para analisar todos os itens.

Passo 3

Item (a): “Todo número divisível por 4 é divisível por 8.”
  • Explicação: Se todo múltiplo de 4 fosse múltiplo de 8, então 4 seria múltiplo de 8 — mas não é. Basta um contraexemplo simples.
  • Contraexemplo: considere 4. Temos 4\mid 4, mas não temos 8\mid 4 porque 4 < 8. Portanto a afirmação é falsa.
  • Conclusão: (a) é Falso.

Passo 4

Item (b): “Todo número divisível por 6 é divisível por 3 e par.”
  • Raciocínio: 6 = 2\cdot 3 e 2 e 3 são coprimos. Um número é múltiplo de 6 exatamente quando é múltiplo simultaneamente de 2 e de 3.
  • Formal: se 6\mid n então existem k tal que n=6k=2(3k), logo 2\mid n; e n=6k=3(2k), logo 3\mid n.
  • Exemplo: 18 é divisível por 6, por 3 e é par.
  • Conclusão: (b) é Verdadeiro.

Passo 5

Item (c): “Todo número divisível por 8 é divisível por 2.”
  • Raciocínio curto: 8 = 2\cdot 4. Se 8\mid n então n=8k=2(4k), logo 2\mid n.
  • Conclusão: (c) é Verdadeiro.

Passo 6

Item (d): “O número formado 111\ldots11 com número par de algarismos 1 é sempre divisível por 11.”
  • Teste de 11 (regra do sinal alternado): para um número decimal, calcule a soma dos dígitos nas posições ímpares e a soma dos dígitos nas posições pares e subtraia; se a diferença é múltipla de 11 (incluindo 0), o número é divisível por 11.
  • No nosso caso, todos os dígitos são 1. Se o número tem 2m algarismos (par), então a soma dos dígitos em posições ímpares é m e a soma em posições pares também é m. A diferença é m-m=0, múltiplo de 11.
  • Exemplos: 11 (dois uns) é 11\cdot1; 1111 (quatro uns) é 11\cdot101; 111111 (seis uns) é 11\cdot10101.
  • Conclusão: (d) é Verdadeiro.

Passo 7

Item (e): “O número 871 é primo.”
  • Teste prático: verificar divisibilidade por primos pequenos. Tentar 2,3,5 falham (não divisíveis). Tentar 7: 7\times124=868 (resto 3), não é múltiplo de 7. Tentar 11: 11\times79=869 (resto 2). Tentar 13:
    • Calcule 13\times67. Temos 13\times60=780 e 13\times7=91; somando 780+91=871.
  • Assim 871 = 13\times67, produto de dois inteiros maiores que 1, logo é composto.
  • Conclusão: (e) é Falso.

Passo 8

Item (f): “Existem 100 números inteiros positivos consecutivos, todos compostos.”
  • Construção clássica: para obter k inteiros consecutivos compostos, tome N=(k+1)!. Então, para i=2,3,\dots,k+1 o número N+i é divisível por i (porque N é múltiplo de i), e N+i>i, logo N+i é composto.
  • Aplicando para k=100: escolha N = 101!. Então os 100 números 101!+2,\;101!+3,\;\dots,\;101!+101são 100 inteiros consecutivos e cada um é composto (divisível pelo respectivo i com 2\le i\le101).
  • Portanto existem 100 inteiros consecutivos todos compostos.
  • Conclusão: (f) é Verdadeiro.

Passo 9

Item (g): “Se um inteiro a divide o produto bc, então necessariamente a divide b ou c.”
  • Observação teórica: essa propriedade é verdadeira quando a é primo (lema de Euclides): se p primo e p\mid bc então p\mid b ou p\mid c.
  • Mas para a geral (composto) não é verdade em geral. Basta dar um contraexemplo.
  • Contraexemplo: tome a=6, b=2, c=3. Então bc = 2\cdot3=6 e 6\mid 6, logo 6\mid bc. Entretanto 6\nmid 2 e 6\nmid 3. Logo a afirmação é falsa no enunciado geral.
  • Conclusão: (g) é Falso.

Passo 10

Item (h): “O número 152790 é divisível por 6.”
  • Teste: precisa ser divisível por 2 e por 3.
    • Divisibilidade por 2: último dígito é 0, então 152790 é par \Rightarrow 2\mid 152790.
    • Divisibilidade por 3: soma dos dígitos 1+5+2+7+9+0 = 24. Como 24 é múltiplo de 3, então 3\mid 152790.
  • Como é divisível por 2 e por 3, concluímos que 6\mid 152790.
  • Conclusão: (h) é Verdadeiro.

Passo 11

Item (i): “O número 12551 é divisível por 7.”
  • Faço divisão ou verifico multiplicação:
    • Tentar 7\times 1793. Calcular 7\times 1700 = 11900 e 7\times 93 = 651. Soma 11900+651 = 12551.
  • Assim 12551 = 7\times 1793, logo é divisível por 7.
  • Conclusão: (i) é Verdadeiro.

Passo 12

Item (j): “O número 179262720 é divisível por 8 e 9.”
  • Divisibilidade por 8: verificar os três últimos dígitos. Os três últimos dígitos são 720. Como 720 \div 8 = 90 sem resto, temos 8\mid 179262720.
  • Divisibilidade por 9: soma dos dígitos 1+7+9+2+6+2+7+2+0 = 36. Como 36 é múltiplo de 9, temos 9\mid 179262720.
  • Portanto o número é divisível por ambos 8 e 9.
  • Conclusão: (j) é Verdadeiro.

Resposta

a) Falso
b) Verdadeiro
c) Verdadeiro
d) Verdadeiro
e) Falso
f) Verdadeiro
g) Falso
h) Verdadeiro
i) Verdadeiro
j) Verdadeiro

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