Exercício 4. Julgue as alternativas abaixo em Verdadeiro ou Falso:
a) Todo número divisível por 4 é divisível por 8.
b) Todo número divisível por 6 é divisível por 3 e par.
c) Todo número divisível por 8 é divisível por 2 .
d) O número formado
formado por um número par de algarismos 1 é sempre divisível por 11 .
e) O número 871 é primo.
f) Existem 100 números inteiros positivos consecutivos, todos compostos.
g) Se um número inteiro
divide o produto
de dois números inteiros, então ele necessariamente divide
ou
.
h) O número 152790 é divisível por 6
i) O número 12551 é divisível por 7
j) O número 179262720 é divisível por 8 e 9
a) Todo número divisível por 4 é divisível por 8.
b) Todo número divisível por 6 é divisível por 3 e par.
c) Todo número divisível por 8 é divisível por 2 .
d) O número formado
e) O número 871 é primo.
f) Existem 100 números inteiros positivos consecutivos, todos compostos.
g) Se um número inteiro
h) O número 152790 é divisível por 6
i) O número 12551 é divisível por 7
j) O número 179262720 é divisível por 8 e 9
Passo 1
O enunciado pede que eu julgue cada alternativa a)–j) como Verdadeiro ou Falso. Vou listar claramente cada enunciado que preciso avaliar:
- (a) Todo número divisível por
é divisível por . - (b) Todo número divisível por
é divisível por e par. - (c) Todo número divisível por
é divisível por . - (d) O número formado
com um número par de algarismos é sempre divisível por . - (e) O número
é primo. - (f) Existem
números inteiros positivos consecutivos, todos compostos. - (g) Se um número inteiro
divide o produto de dois inteiros, então necessariamente divide ou . - (h) O número
é divisível por . - (i) O número
é divisível por . - (j) O número
é divisível por e .
Eu vou verificar cada item, explicando passo a passo os testes de divisibilidade e oferecendo exemplos ou contraexemplos quando necessário.
Passo 2
Conceitos e testes de divisibilidade essenciais (mini-aula rápida e prática):
- Definição: Para inteiros, dizemos que
divide e escrevemos se existe um inteiro tal que . - Testes práticos que vou usar:
- Divisibilidade por
: basta olhar o último algarismo; se for então é divisível por . - Divisibilidade por
: somar os dígitos; se a soma for múltipla de , então o número é divisível por . - Divisibilidade por
: somar os dígitos; se a soma for múltipla de , então o número é divisível por . - Divisibilidade por
: basta verificar os dois últimos dígitos (ou dividir por ). - Divisibilidade por
: verificar os três últimos dígitos (ou dividir por ). - Divisibilidade por
: é necessário e suficiente ser divisível por e por ao mesmo tempo. - Divisibilidade por
: regra do sinal alternado: somar os algarismos em posições pares e ímpares e tomar a diferença; se a diferença for múltipla de (incluindo ), então o número é divisível por . - Divisibilidade por
: não há um teste tão simples e curto como para ; costuma-se dividir ou usar métodos modulares. Quando possível, faço divisão ou encontro um fator.
- Divisibilidade por
- Primos e produto: se
é primo e , então ou (lema de Euclides). Para geral (não necessariamente primo) isso não vale: podemos ter sem que nem .
Esses instrumentos são suficientes para analisar todos os itens.
Passo 3
Item (a): “Todo número divisível por
é divisível por
.”
- Explicação: Se todo múltiplo de
fosse múltiplo de , então seria múltiplo de — mas não é. Basta um contraexemplo simples. - Contraexemplo: considere
. Temos , mas não temos porque . Portanto a afirmação é falsa. - Conclusão: (a) é Falso.
Passo 4
Item (b): “Todo número divisível por
é divisível por
e par.”
- Raciocínio:
e e são coprimos. Um número é múltiplo de exatamente quando é múltiplo simultaneamente de e de . - Formal: se
então existem tal que , logo ; e , logo . - Exemplo:
é divisível por , por e é par. - Conclusão: (b) é Verdadeiro.
Passo 5
Item (c): “Todo número divisível por
é divisível por
.”
- Raciocínio curto:
. Se então , logo . - Conclusão: (c) é Verdadeiro.
Passo 6
Item (d): “O número formado
com número par de algarismos
é sempre divisível por
.”
- Teste de
(regra do sinal alternado): para um número decimal, calcule a soma dos dígitos nas posições ímpares e a soma dos dígitos nas posições pares e subtraia; se a diferença é múltipla de (incluindo ), o número é divisível por . - No nosso caso, todos os dígitos são
. Se o número tem algarismos (par), então a soma dos dígitos em posições ímpares é e a soma em posições pares também é . A diferença é , múltiplo de . - Exemplos:
(dois uns) é ; (quatro uns) é ; (seis uns) é . - Conclusão: (d) é Verdadeiro.
Passo 7
Item (e): “O número
é primo.”
- Teste prático: verificar divisibilidade por primos pequenos. Tentar
falham (não divisíveis). Tentar : (resto ), não é múltiplo de . Tentar : (resto ). Tentar : - Calcule
. Temos e ; somando .
- Calcule
- Assim
, produto de dois inteiros maiores que , logo é composto. - Conclusão: (e) é Falso.
Passo 8
Item (f): “Existem
números inteiros positivos consecutivos, todos compostos.”
- Construção clássica: para obter
inteiros consecutivos compostos, tome . Então, para o número é divisível por (porque é múltiplo de ), e , logo é composto. - Aplicando para
: escolha . Então os números são inteiros consecutivos e cada um é composto (divisível pelo respectivo com ). - Portanto existem
inteiros consecutivos todos compostos. - Conclusão: (f) é Verdadeiro.
Passo 9
Item (g): “Se um inteiro
divide o produto
, então necessariamente
divide
ou
.”
- Observação teórica: essa propriedade é verdadeira quando
é primo (lema de Euclides): se primo e então ou . - Mas para
geral (composto) não é verdade em geral. Basta dar um contraexemplo. - Contraexemplo: tome
, , . Então e , logo . Entretanto e . Logo a afirmação é falsa no enunciado geral. - Conclusão: (g) é Falso.
Passo 10
Item (h): “O número
é divisível por
.”
- Teste: precisa ser divisível por
e por . - Divisibilidade por
: último dígito é , então é par . - Divisibilidade por
: soma dos dígitos . Como é múltiplo de , então .
- Divisibilidade por
- Como é divisível por
e por , concluímos que . - Conclusão: (h) é Verdadeiro.
Passo 11
Item (i): “O número
é divisível por
.”
- Faço divisão ou verifico multiplicação:
- Tentar
. Calcular e . Soma .
- Tentar
- Assim
, logo é divisível por . - Conclusão: (i) é Verdadeiro.
Passo 12
Item (j): “O número
é divisível por
e
.”
- Divisibilidade por
: verificar os três últimos dígitos. Os três últimos dígitos são . Como sem resto, temos . - Divisibilidade por
: soma dos dígitos . Como é múltiplo de , temos . - Portanto o número é divisível por ambos
e . - Conclusão: (j) é Verdadeiro.
Resposta
a) Falso
b) Verdadeiro
c) Verdadeiro
d) Verdadeiro
e) Falso
f) Verdadeiro
g) Falso
h) Verdadeiro
i) Verdadeiro
j) Verdadeiro
b) Verdadeiro
c) Verdadeiro
d) Verdadeiro
e) Falso
f) Verdadeiro
g) Falso
h) Verdadeiro
i) Verdadeiro
j) Verdadeiro