Exercício 5. Calcule o MMC dos números abaixo:
36 e 63 .

Passo 1

O enunciado pede: calcular o MMC (mínimo múltiplo comum) dos números 36 e 63.
Informações dadas:
  • Primeiro número: 36.
  • Segundo número: 63.

Passo 2

O que é MMC e como vamos proceder (explicação passo a passo, sem pressa).
  • Definição: o MMC de dois números é o menor número positivo que é múltiplo de ambos.
  • Métodos comuns:
    1. Fazer a fatoração em primos de cada número e, para cada primo, tomar a maior potência que aparece; multiplicar essas potências (método que usaremos como principal).
    2. Usar a relação \text{MMC}(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\gcd(a,b)} (método alternativo — vou mostrar também como conferir o resultado).
      Vou explicar cada ideia com calma enquanto aplico ao problema.

Passo 3

Fatoração em primos de 36 (passo a passo e explicação dos testes de divisibilidade).
  • Teste por 2: 36 é par, então divisível por 2. 36 \div 2 = 18.
  • Repetir o teste em 18: também é par. 18 \div 2 = 9.
  • Agora 9 não é par, testar por 3: soma dos dígitos de 9 é 9, múltiplo de 3, logo divisível por 3. 9 \div 3 = 3.
  • Repetir em 3: 3 \div 3 = 1.
    Como chegamos a 1, paramos. Registrando as divisões, 36 foi dividido por 2,2,3,3, ou seja:
36 = 2^2 \cdot 3^2.
Observação didática rápida: ao fatorar, sempre tentar pelos primos pequenos 2,3,5,7,\dots. Para 2 basta ver se é par; para 3 somar dígitos; para 5 terminar em 0 ou 5, etc.

Passo 4

Fatoração em primos de 63 (passo a passo).
  • Teste por 2: 63 é ímpar, não vale.
  • Teste por 3: soma dos dígitos 6+3=9 é múltiplo de 3, então 63 divisível por 3. 63 \div 3 = 21.
  • Repetir: 21 também divisível por 3. 21 \div 3 = 7.
  • 7 é primo, e 7 \div 7 = 1. Assim:
63 = 3^2 \cdot 7.

Passo 5

Construção do MMC usando as fatorações (regra e aplicação direta).
  • Reunir os primos presentes nas duas fatorações: 2, 3, 7.
  • Para cada primo, tomar a maior potência que aparece entre os dois números:
    • Para 2: aparece em 36 com expoente 2 e em 63 com expoente 0. Tomar 2^2.
    • Para 3: aparece com expoente 2 em ambos. Tomar 3^2.
    • Para 7: aparece com expoente 0 em 36 e 1 em 63. Tomar 7^1.
  • Portanto o MMC é dado por
\text{MMC} = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7.
  • Calculemos as potências individuais para facilitar a multiplicação:
2^2 = 4,\qquad 3^2 = 9.
Assim a expressão fica
\text{MMC} = 4 \cdot 9 \cdot 7.

Passo 6

Verificação alternativa usando o MDC (GCD) e a relação com o MMC.
  • Primeiro calcular \gcd(36,63) pelo algoritmo de Euclides: 63 = 36\cdot 1 + 27,
36 = 27\cdot 1 + 9,
27 = 9\cdot 3 + 0.
Quando o resto vira 0, o último resto não nulo é o \gcd. Aqui \gcd(36,63)=9.
  • Usar a fórmula
\text{MMC}(36,63)=\dfrac{36\cdot 63}{\gcd(36,63)}.
  • Substituindo \gcd(36,63)=9:
\text{MMC}(36,63)=\dfrac{36\cdot 63}{9} = 4 \cdot 63.
  • A expressão 4\cdot 63 é a mesma que 4\cdot 9 \cdot 7 obtida pelo método da fatoração (ambos concordam).

Passo 7

Resumo final e incentivo rápido.
  • Usando fatoração: \text{MMC} = 2^2\cdot 3^2 \cdot 7 = 4\cdot 9 \cdot 7.
  • Usando relação com o \gcd: \text{MMC} = \dfrac{36\cdot63}{9} = 4\cdot63.
    Ambos os caminhos dão o mesmo resultado — bom sinal! Manda ver na prova: se tiver tempo, fatoração é direta; se não, o truque com \gcd é rápido.

Resposta

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