Exercício 5. Calcule o MMC dos números abaixo:
36 e 63 .
36 e 63 .
Passo 1
O enunciado pede: calcular o MMC (mínimo múltiplo comum) dos números
e
.
Informações dadas:
- Primeiro número:
. - Segundo número:
.
Passo 2
O que é MMC e como vamos proceder (explicação passo a passo, sem pressa).
- Definição: o MMC de dois números é o menor número positivo que é múltiplo de ambos.
- Métodos comuns:
- Fazer a fatoração em primos de cada número e, para cada primo, tomar a maior potência que aparece; multiplicar essas potências (método que usaremos como principal).
- Usar a relação
(método alternativo — vou mostrar também como conferir o resultado).
Vou explicar cada ideia com calma enquanto aplico ao problema.
Passo 3
Fatoração em primos de
(passo a passo e explicação dos testes de divisibilidade).
- Teste por
: é par, então divisível por . - Repetir o teste em
: também é par. - Agora
não é par, testar por : soma dos dígitos de é , múltiplo de , logo divisível por . - Repetir em
: .
Como chegamos a, paramos. Registrando as divisões, foi dividido por , ou seja:
Observação didática rápida: ao fatorar, sempre tentar pelos primos pequenos
. Para
basta ver se é par; para
somar dígitos; para
terminar em
ou
, etc.
Passo 4
Fatoração em primos de
(passo a passo).
- Teste por
: é ímpar, não vale. - Teste por
: soma dos dígitos é múltiplo de , então divisível por . - Repetir:
também divisível por . -
é primo, e . Assim:
Passo 5
Construção do MMC usando as fatorações (regra e aplicação direta).
- Reunir os primos presentes nas duas fatorações:
, , . - Para cada primo, tomar a maior potência que aparece entre os dois números:
- Para
: aparece em com expoente e em com expoente . Tomar . - Para
: aparece com expoente em ambos. Tomar . - Para
: aparece com expoente em e em . Tomar .
- Para
- Portanto o MMC é dado por
- Calculemos as potências individuais para facilitar a multiplicação:
Assim a expressão fica
Passo 6
Verificação alternativa usando o MDC (GCD) e a relação com o MMC.
- Primeiro calcular
pelo algoritmo de Euclides:
Quando o resto vira
, o último resto não nulo é o
. Aqui
.
- Usar a fórmula
- Substituindo
:
- A expressão
é a mesma que obtida pelo método da fatoração (ambos concordam).
Passo 7
Resumo final e incentivo rápido.
- Usando fatoração:
- Usando relação com o
:
Ambos os caminhos dão o mesmo resultado — bom sinal! Manda ver na prova: se tiver tempo, fatoração é direta; se não, o truque comé rápido.