Exercício 3

A Lei dos gases ideais diz que
P V=n R T
Preparou-se em laboratório uma amostra com as seguintes características.
\begin{gathered} \mathrm{n}=(1,00 \pm 0,05) \mathrm{mol} \\\ \mathrm{~T}=(300 \pm 1) \mathrm{K} \\\ \mathrm{~V}=(10,0 \pm 0,3) \mathrm{L} \end{gathered}
a) Converta o volume para o SI.
b) Calcule P.
c) Determine a incerteza absoluta de P .
d) Determine a incerteza relativa de P.
e) Escreva o resultado final P \pm \Delta P com unidades e algarismos significativos adequados.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei os valores diretamente do enunciado):
  • n=(1{,}00\pm0{,}05)\\ \text{mol}.
  • T=(300\pm1)\\ \text{K}.
  • V=(10{,}0\pm0{,}3)\\ \text{L}.
O que o enunciado pede:
a) Converter o volume para o SI.
b) Calcular a pressão P usando a lei dos gases ideais.
c) Determinar a incerteza absoluta de P (isto é, \Delta P).
d) Determinar a incerteza relativa de P (isto é, \Delta P / P ou em porcentagem).
e) Escrever o resultado final P\pm\Delta P com unidades e algarismos significativos adequados.
Nota prática que vou usar: vou tomar a constante dos gases ideais como R=8{,}314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\text{K}^{-1} (valor usual suficiente para os dígitos exigidos).

Passo 2

Converter o volume para o SI (m³) e também converter a incerteza.
Regra: 1\\ \text{L}=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}^3.
V=10{,}0\\ \text{L}=10{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}^3=0{,}0100\\ \text{m}^3.
A incerteza em V é \Delta V=0{,}3\\ \text{L}=0{,}3\times10^{-3}\\ \text{m}^3=0{,}0003\\ \text{m}^3.
Portanto o volume em SI é
V=(0{,}0100\pm0{,}0003)\\ \text{m}^3.
Explicação curta: preservei os algarismos significativos do enunciado ao converter (10{,}0 L → 0{,}0100 m³) e multipliquei a incerteza igualmente por 10^{-3}.

Passo 3

Calcular a pressão nominal P usando a lei dos gases ideais.
Fórmula:
P=\frac{n R T}{V}.
Substituindo os valores centrais ( n=1{,}00\\ \text{mol}, R=8{,}314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\text{K}^{-1}, T=300\\ \text{K}, V=0{,}0100\\ \text{m}^3):
P=\frac{1{,}00\cdot 8{,}314\cdot 300}{0{,}0100}\\ \text{Pa}.
Calculemos passo a passo:
8{,}314\cdot 300 = 2494{,}2,
\frac{2494{,}2}{0{,}0100}=249420.
Logo o valor nominal da pressão é
P=249420\\ \text{Pa}.
(Dica prática: Pa = J/m³, por isso as unidades batem.)

Passo 4

Como calcular a incerteza absoluta \Delta P: regra de propagação para produtos e quocientes.
Se P depende de variáveis independentes por produto/quociente, uma forma simples e robusta é trabalhar com incertezas relativas. Para
P=\frac{n R T}{V},
tratando R como constante conhecida, a variação diferencial relativa (linearizada) é
\frac{dP}{P}=\frac{dn}{n}+\frac{dT}{T}-\frac{dV}{V}.
Como desvio padrão (incertezas independentes) somam em quadratura, a incerteza relativa é
\left(\frac{\Delta P}{P}\right)^2=\left(\frac{\Delta n}{n}\right)^2+\left(\frac{\Delta T}{T}\right)^2+\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2.
Explicação didática: o sinal menos para V não importa porque vamos elevar ao quadrado; cada termo contribui positivamente para a variância relativa.

Passo 5

Calcular as incertezas relativas individuais a partir dos dados:
\frac{\Delta n}{n}=\frac{0{,}05}{1{,}00}=0{,}05.
\frac{\Delta T}{T}=\frac{1}{300}=0{,}00333\ldots
\frac{\Delta V}{V}=\frac{0{,}0003}{0{,}0100}=0{,}03.
Agora aplicamos a fórmula em quadratura:
\left(\frac{\Delta P}{P}\right)^2=(0{,}05)^2+(0{,}00333\ldots)^2+(0{,}03)^2.
(0{,}05)^2=0{,}0025,\quad (0{,}00333\ldots)^2\approx0{,}00001111,\quad (0{,}03)^2=0{,}0009.
\left(\frac{\Delta P}{P}\right)^2\approx 0{,}0025+0{,}00001111+0{,}0009=0{,}00341111.
\frac{\Delta P}{P}\approx\sqrt{0{,}00341111}=0{,}05844\ldots
Portanto a incerteza relativa é aproximadamente 0{,}05844, ou em porcentagem 5{,}844\%.

Passo 6

Calcular a incerteza absoluta \Delta P:
\Delta P = P\cdot\frac{\Delta P}{P}=249420\times0{,}05844\ldots
\Delta P \approx 14569\\ \text{Pa}.
Para ficar claro, escrevo com mais dígitos significativos do cálculo:
\Delta P \approx 1{,}4569\times10^{4}\\ \text{Pa}.

Passo 7

Escolher algarismos significativos e apresentar o resultado final com notação adequada.
Regra prática: arredonda-se a incerteza para 1 ou 2 algarismos significativos e então arredonda-se o valor medido na mesma casa decimal.
  • A incerteza calculada é \Delta P\approx 1{,}4569\times10^{4}\\ \text{Pa}. Vou apresentar com duas cifras significativas: \Delta P\approx1{,}5\times10^{4}\\ \text{Pa} (isto é, 15000\\ \text{Pa}).
  • Arredondando P para a mesma ordem (casa dos 10^{4}), obtemos P\approx2{,}50\times10^{5}\\ \text{Pa} (isto é, 250000\\ \text{Pa}).
Assim a apresentação final conveniente é
P=(2{,}50\pm0{,}15)\times10^{5}\\ \text{Pa},
onde 0{,}15\times10^{5}\\ \text{Pa}=1{,}5\times10^{4}\\ \text{Pa}=15000\\ \text{Pa}.
Observação: se preferir em unidades mais familiares, isto é P=(250\pm15)\\ \text{kPa}.

Resposta

a) V=(0{,}0100\pm0{,}0003)\\ \text{m}^3
b) P=2{,}49420\times10^{5}\\ \text{Pa}
c) \Delta P\approx1{,}4569\times10^{4}\\ \text{Pa}
d) \dfrac{\Delta P}{P}\approx0{,}05844 \approx5{,}844\%
e) P=(2{,}50\pm0{,}15)\times10^{5}\\ \text{Pa}

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