Exercício 1
O período de um sistema massa-mola ideal é dado por:
Suponha que se queira descobrir o período de oscilação de um sistema deste tipo. Fez-se apenas uma medida das seguintes variáveis:
a) Converta a massa (com sua incerteza) para o SI.
b) Calcule o período
.
c) Determine a incerteza absoluta de T .
d) Determine a incerteza relativa (
) em porcentagem.
e) Escreva o resultado final no formato
com unidades e algarismos significativos adequados.
b) Calcule o período
c) Determine a incerteza absoluta de T .
d) Determine a incerteza relativa (
e) Escreva o resultado final no formato
Passo 1
O enunciado pede cinco coisas separadas; vou listá-las claramente e também as informações que foram medidas.
O que o enunciado pergunta:
a) Converter a massa medida para o SI (quilograma) incluindo a incerteza.
b) Calcular o período usando a fórmula dada.
c) Determinar a incerteza absoluta de (isto é,
).
d) Determinar a incerteza relativa em porcentagem.
e) Escrever o resultado final no formato com unidades e algarismos significativos adequados.
a) Converter a massa medida para o SI (quilograma) incluindo a incerteza.
b) Calcular o período
c) Determinar a incerteza absoluta de
d) Determinar a incerteza relativa
e) Escrever o resultado final no formato
Informações fornecidas (valores medidos):
Fórmula para usar:
A partir daqui começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro converto a massa para o SI (quilograma). Lembrete:
, logo para converter divide-se por
.
Calculo:
A incerteza também converte igual:
Resultado da conversão (já com a incerteza):
Breve explicação didática: ao converter unidades de massa de gramas para quilogramas, multiplica-se ou divide-se por potências de
. Como aqui dividimos por
, tanto o valor quanto a incerteza dividem por
.
Passo 3
Agora calculo o período
usando os valores centrais (valores medidos, sem ainda propagar incertezas).
Substituo na fórmula:
Faço a conta dentro da raiz:
Portanto
Em valor numérico:
Dica de prova: sempre calcule passo a passo dentro da raiz antes de multiplicar por constantes; aqui deu uma raiz exata
, o que simplificou bastante.
Passo 4
Agora precisamos estimar a incerteza em
usando propagação de incertezas. Vou ensinar o método mais usado: derivadas parciais e soma em quadratura (pressupõe incertezas independentes).
Se
, a incerteza absoluta aproximada é dada por
Isto vem da expansão linear de
em torno dos valores medidos e de que as incertezas são independentes.
Calculo as derivadas parciais. Lembrando que
:
Explicação: ao derivar potências, usa-se a regra
. Aqui aplicamos isto a
e
.
Passo 5
Substituo as derivadas na fórmula de propagação e simplifico para uma forma relativa (isso facilita os cálculos):
Dividindo por
(para obter a incerteza relativa):
Mas é mais simples usar a forma baseada em potências: como
, aplicando logaritmo e diferenciação obtemos (forma prática):
Observação didática: no caso de multiplicação/divisão e potências, a propagação de erros costuma levar a somas quadráticas das frações ponderadas pelo expoente (aqui ambos os expoentes em módulo são
).
Passo 6
Calculo as incertezas relativas individuais que entram na fórmula:
Para a massa:
Para a constante elástica:
Agora aplico a fórmula para
:
Faço as contas dentro da raiz:
Convertendo para porcentagem:
Explicação rápida: a porcentagem é a fração multiplicada por
.
Passo 7
Agora calculo a incerteza absoluta
multiplicando a fração pelo valor de
(valor central calculado no Passo 3):
Portanto o valor calculado sem arredondamento é
.
Passo 8
Regras de algarismos significativos e apresentação final: normalmente a incerteza é arredondada para uma ou duas cifras significativas. Aqui a primeira cifra significativa de
é um
(não é 1 ou 2), então é aceitável mantê-la com uma cifra significativa:
.
Quando se arredonda a incerteza para
, o valor de
central deve ser arredondado para o mesmo campo decimal (milésimos). Assim:
Portanto, no formato final
com algarismos adequados:
Breve incentivo: deu trabalho, mas o procedimento é sempre o mesmo: converter unidades, calcular valor central, propagar incertezas pelas derivadas (ou pela regra dos expoentes) e, por fim, apresentar com algarismos coerentes. Tu já consegue aplicar isso em outras questões parecidas!
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)