Exercício 8. A Lei de Gauss para o Campo Elétrico e suas aplicações.
a) Explique por que a Lei de Gauss para o Campo Elétrico é particularmente útil para calcular campos elétricos em configurações com alta simetria.
b) Descreva a diferença entre campo elétrico (E) e densidade de fluxo elétrico (D) em um meio material.
c) Um cabo coaxial tem raio do condutor interno a=1 \mathrm{~mm} e raio do condutor externo b=3 \mathrm{~mm}. Se a carga por unidade de comprimento no condutor interno é \rho_{L}=10 \mathrm{nC} / \mathrm{m} e o dielétrico entre os condutores é o ar, utilize a Lei de Gauss para encontrar D a r=2 \mathrm{~mm}.
d) Calcule o campo elétrico \mathbf{E} para o cenário do item (c).

Passo 1

O enunciado aborda a Lei de Gauss para o campo elétrico e pede quatro coisas:
– (a) justificar por que essa lei é útil em configurações de alta simetria;
– (b) diferenciar o campo elétrico \mathbf{E} da densidade de fluxo elétrico \mathbf{D} num meio material;
– (c) num cabo coaxial com raio interno a=1\;\mathrm{mm}, raio externo b=3\;\mathrm{mm} e carga livre por unidade de comprimento \rho_{L}=10\;\mathrm{nC/m}, usar a Lei de Gauss para encontrar \mathbf{D} a r=2\;\mathrm{mm};
– (d) calcular então o campo \mathbf{E} nesse mesmo ponto.
Conteúdo a usar: Lei de Gauss para \mathbf{E} e para \mathbf{D}, propriedades de meio dielétrico (ar) e relações \mathbf{D}=\epsilon\,\mathbf{E}, \epsilon=\epsilon_{0}.

Passo 2

(a) A Lei de Gauss para o campo elétrico em forma integral é
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}}\,.
Quando temos simetria esférica, cilíndrica ou planar, o campo \mathbf{E} tem módulo constante na superfície gaussiana bem escolhida e direção perpendicular a ela. Isso reduz a integral de superfície a um produto E\cdot S, transformando a equação integral numa simples fórmula algébrica para E. Sem essa simetria, \mathbf{E} varia de ponto a ponto e não há modo fácil de tirar E da integral.

Passo 3

(b) O campo elétrico \mathbf{E} mede a força por carga unitária em qualquer ponto, englobando efeitos de todas as cargas (livres e ligadas). Já a densidade de fluxo elétrico \mathbf{D} incorpora o efeito de polarização do meio e satisfaz
\nabla\!\cdot\mathbf{D} = \rho_{\text{livre}}\quad\Longrightarrow\quad \oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} = Q_{\text{livre, int}}\,.
Em meios lineares homogêneos temos \mathbf{D}=\epsilon\,\mathbf{E} com \epsilon=\epsilon_{0}\,\epsilon_{r}. No vácuo ou ar, \epsilon_{r}\approx1, logo \mathbf{D}\approx\epsilon_{0}\,\mathbf{E}.

Passo 4

(c) Para o cabo coaxial usamos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio genérico r e comprimento L, coaxial aos condutores. A lei de Gauss para \mathbf{D}
\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} = D(r)\,\bigl(2\pi r L\bigr) = Q_{\text{livre, int}} = \rho_{L}\,L \quad\Longrightarrow\quad D(r) = \frac{\rho_{L}}{2\pi\,r}\,.

Passo 5

No ponto r=2\;\mathrm{mm}=2\times10^{-3}\,\mathrm{m} e com \rho_{L}=10\times10^{-9}\,\mathrm{C/m}, obtemos
D(2\;\mathrm{mm}) = \frac{10\times10^{-9}}{2\pi\,(2\times10^{-3})} \approx 7{,}96\times10^{-7}\;\mathrm{C/m^{2}},
no sentido radial para fora do condutor interno.

Passo 6

(d) Como o dielétrico é o ar \epsilon_{r}\approx1, vale \mathbf{D}=\epsilon_{0}\,\mathbf{E}. Logo
E(r) = \frac{D(r)}{\epsilon_{0}}\,,
mantendo-se radial.

Passo 7

Substituindo \epsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m} e o valor de D,
E(2\;\mathrm{mm}) = \frac{7{,}96\times10^{-7}}{8{,}854\times10^{-12}} \approx 8{,}99\times10^{4}\;\mathrm{V/m},
para fora do condutor interno.

Resposta

(a) Porque em geometrias esférica, cilíndrica ou planar o módulo de \mathbf{E} é constante na superfície gaussiana adequada, reduzindo a integral de superfície a um produto algébrico.
(b) \mathbf{E} é o campo de força por carga unitária (todas as cargas), enquanto \mathbf{D} é a densidade de fluxo que obedece \nabla\!\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{livre}} e inclui efeito de polarização do meio; em meios lineares \mathbf{D}=\epsilon\,\mathbf{E}.
(c) \displaystyle \mathbf{D}(2\;\mathrm{mm})\approx7{,}96\times10^{-7}\,\mathrm{C/m^{2}} radialmente para fora.
(d) \displaystyle \mathbf{E}(2\;\mathrm{mm})\approx8{,}99\times10^{4}\,\mathrm{V/m} radialmente para fora.

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