Exercício 7. Considere a continuidade da corrente e a equação da continuidade.
a) Formule a equação da continuidade e explique sua relação com a conservação da carga elétrica. Como ela se relaciona com as Equações de Maxwell?
b) Discuta uma situação prática onde a equação da continuidade é crucial para entender o comportamento de um sistema elétrico.
c) A densidade de corrente em uma região é dada por \mathbf{J}=\left(0.5 \cos (\omega t) \mathbf{a}_{ \mathbf{x}}\right) \mathrm{A} / \mathrm{m}^{2}. Calcule a taxa de variação temporal da densidade de carga volumétrica, \frac{\partial \rho_{v}}{\partial t}.
d) Se a densidade de carga volumétrica em um ponto é \rho_{v}=10 e^{-t / \tau} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}, onde \tau é uma constante de tempo, calcule a densidade de corrente de condução resultante do decaimento da carga.

Passo 1

O enunciado trata da equação de continuidade da corrente elétrica, que expressa a conservação da carga elétrica e aparece como consequência das Equações de Maxwell. Vamos (a) formular essa equação e relacioná-la à conservação de carga e às Equações de Maxwell, (b) dar um exemplo prático onde ela é essencial, (c) usar \mathbf{J}(t) para obter \partial \rho_{v}/\partial t e (d), a partir de \rho_{v}(t), determinar a densidade de corrente de condução associada ao decaimento de carga.

Passo 2

A equação de continuidade afirma que a taxa de variação temporal da densidade de carga volumétrica \rho_{v} mais a divergência da densidade de corrente \mathbf{J} é zero. Em fórmulas:
\frac{\partial \rho_{v}}{\partial t} + \nabla\!\cdot\mathbf{J} \;=\;0.
Isto traduz o fato de que qualquer redução de carga num volume só pode ocorrer por escoamento de corrente através da superfície. Nas Equações de Maxwell, a Lei de Ampère–Maxwell é
\nabla\times \mathbf{H} \;=\;\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.
Tomando a divergência em ambos os lados e usando \nabla\cdot(\nabla\times \mathbf{H})=0 e \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{v}, obtemos imediatamente a equação de continuidade.

Passo 3

Um exemplo prático essencial é a região de um capacitor carregando ou descarregando. Entre as placas não há corrente de condução, mas a carga na placa varia e gera deslocamento de corrente \partial\mathbf{D}/\partial t. Sem a equação de continuidade, o circuito externo pareceria aberto no dielétrico, violando a conservação de carga e impedindo a aplicação correta da Lei de Ampère–Maxwell para calcular o campo magnético ao redor.

Passo 4

Dada \mathbf{J}(t)=0{,}5\cos(\omega t)\,\mathbf{a}_{x} A/ m^{2}, como não há dependência espacial, \nabla\!\cdot\mathbf{J}=0. Pela continuidade,
\frac{\partial \rho_{v}}{\partial t} = -\nabla\!\cdot\mathbf{J} = 0.

Passo 5

Para \rho_{v}(t)=10e^{-t/\tau} C/ m^{3}, temos
\frac{\partial \rho_{v}}{\partial t} = -\frac{10}{\tau}\,e^{-t/\tau}.
Se atribuirmos esse decaimento a uma corrente de condução unidirecional em x, podemos escrever, de modo simplificado,
\mathbf{J}_{\mathrm{cond}} = -\,\frac{\partial \rho_{v}}{\partial t}\,\mathbf{a}_{x} = \frac{10}{\tau}\,e^{-t/\tau}\,\mathbf{a}_{x} \quad\text{(A/m^{2}).}

Resposta

a) \displaystyle \frac{\partial \rho_{v}}{\partial t} + \nabla\!\cdot\mathbf{J}=0. É a expressão da conservação de carga; aparece ao tomar divergência da Lei de Ampère–Maxwell.
b) No carregamento de um capacitor, onde a corrente de deslocamento no dielétrico satisfaz a continuidade de carga e permite calcular o campo magnético por Ampère–Maxwell.
c) \displaystyle \frac{\partial \rho_{v}}{\partial t}=0.
d) \displaystyle \mathbf{J}_{\mathrm{cond}}=\frac{10}{\tau}\,e^{-t/\tau}\,\mathbf{a}_{x} A/ m^{2}.

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