Exercício 7. Considere a continuidade da corrente e a equação da continuidade.
a) Formule a equação da continuidade e explique sua relação com a conservação da carga elétrica. Como ela se relaciona com as Equações de Maxwell?
b) Discuta uma situação prática onde a equação da continuidade é crucial para entender o comportamento de um sistema elétrico.
c) A densidade de corrente em uma região é dada por
. Calcule a taxa de variação temporal da densidade de carga volumétrica,
.
d) Se a densidade de carga volumétrica em um ponto é
, onde
é uma constante de tempo, calcule a densidade de corrente de condução resultante do decaimento da carga.
a) Formule a equação da continuidade e explique sua relação com a conservação da carga elétrica. Como ela se relaciona com as Equações de Maxwell?
b) Discuta uma situação prática onde a equação da continuidade é crucial para entender o comportamento de um sistema elétrico.
c) A densidade de corrente em uma região é dada por
d) Se a densidade de carga volumétrica em um ponto é
Passo 1
O enunciado trata da equação de continuidade da corrente elétrica, que expressa a conservação da carga elétrica e aparece como consequência das Equações de Maxwell. Vamos (a) formular essa equação e relacioná-la à conservação de carga e às Equações de Maxwell, (b) dar um exemplo prático onde ela é essencial, (c) usar
para obter
e (d), a partir de
, determinar a densidade de corrente de condução associada ao decaimento de carga.
Passo 2
A equação de continuidade afirma que a taxa de variação temporal da densidade de carga volumétrica
mais a divergência da densidade de corrente
é zero. Em fórmulas:
Isto traduz o fato de que qualquer redução de carga num volume só pode ocorrer por escoamento de corrente através da superfície. Nas Equações de Maxwell, a Lei de Ampère–Maxwell é
Tomando a divergência em ambos os lados e usando
e
, obtemos imediatamente a equação de continuidade.
Passo 3
Um exemplo prático essencial é a região de um capacitor carregando ou descarregando. Entre as placas não há corrente de condução, mas a carga na placa varia e gera deslocamento de corrente
. Sem a equação de continuidade, o circuito externo pareceria aberto no dielétrico, violando a conservação de carga e impedindo a aplicação correta da Lei de Ampère–Maxwell para calcular o campo magnético ao redor.
Passo 4
Dada
A/
, como não há dependência espacial,
. Pela continuidade,
Passo 5
Para
C/
, temos
Se atribuirmos esse decaimento a uma corrente de condução unidirecional em
, podemos escrever, de modo simplificado,
Resposta
a)
. É a expressão da conservação de carga; aparece ao tomar divergência da Lei de Ampère–Maxwell.
b) No carregamento de um capacitor, onde a corrente de deslocamento no dielétrico satisfaz a continuidade de carga e permite calcular o campo magnético por Ampère–Maxwell.
c) .
d) A/
.
b) No carregamento de um capacitor, onde a corrente de deslocamento no dielétrico satisfaz a continuidade de carga e permite calcular o campo magnético por Ampère–Maxwell.
c)
d)