Exercício 8. A Lei de Gauss para o Campo Elétrico e suas aplicações.
a) Explique por que a Lei de Gauss para o Campo Elétrico é particularmente útil para calcular campos elétricos em configurações com alta simetria.
b) Descreva a diferença entre campo elétrico (E) e densidade de fluxo elétrico (D) em um meio material.
c) Um cabo coaxial tem raio do condutor interno
e raio do condutor externo
. Se a carga por unidade de comprimento no condutor interno é
e o dielétrico entre os condutores é o ar, utilize a Lei de Gauss para encontrar D a
.
d) Calcule o campo elétrico
para o cenário do item (c).
a) Explique por que a Lei de Gauss para o Campo Elétrico é particularmente útil para calcular campos elétricos em configurações com alta simetria.
b) Descreva a diferença entre campo elétrico (E) e densidade de fluxo elétrico (D) em um meio material.
c) Um cabo coaxial tem raio do condutor interno
d) Calcule o campo elétrico
Passo 1
O enunciado aborda a Lei de Gauss para o campo elétrico e pede quatro coisas:
– (a) justificar por que essa lei é útil em configurações de alta simetria;
– (b) diferenciar o campo elétrico da densidade de fluxo elétrico
num meio material;
– (c) num cabo coaxial com raio interno , raio externo
e carga livre por unidade de comprimento
, usar a Lei de Gauss para encontrar
a
;
– (d) calcular então o campo nesse mesmo ponto.
Conteúdo a usar: Lei de Gauss para e para
, propriedades de meio dielétrico (ar) e relações
,
.
– (a) justificar por que essa lei é útil em configurações de alta simetria;
– (b) diferenciar o campo elétrico
– (c) num cabo coaxial com raio interno
– (d) calcular então o campo
Conteúdo a usar: Lei de Gauss para
Passo 2
(a) A Lei de Gauss para o campo elétrico em forma integral é
Quando temos simetria esférica, cilíndrica ou planar, o campo
tem módulo constante na superfície gaussiana bem escolhida e direção perpendicular a ela. Isso reduz a integral de superfície a um produto
, transformando a equação integral numa simples fórmula algébrica para
. Sem essa simetria,
varia de ponto a ponto e não há modo fácil de tirar
da integral.
Passo 3
(b) O campo elétrico
mede a força por carga unitária em qualquer ponto, englobando efeitos de todas as cargas (livres e ligadas). Já a densidade de fluxo elétrico
incorpora o efeito de polarização do meio e satisfaz
Em meios lineares homogêneos temos
com
. No vácuo ou ar,
, logo
.
Passo 4
(c) Para o cabo coaxial usamos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio genérico
e comprimento
, coaxial aos condutores. A lei de Gauss para
dá
Passo 5
No ponto
e com
, obtemos
no sentido radial para fora do condutor interno.
Passo 6
(d) Como o dielétrico é o ar
, vale
. Logo
mantendo-se radial.
Passo 7
Substituindo
e o valor de
,
para fora do condutor interno.
Resposta
(a) Porque em geometrias esférica, cilíndrica ou planar o módulo de
é constante na superfície gaussiana adequada, reduzindo a integral de superfície a um produto algébrico.
(b) é o campo de força por carga unitária (todas as cargas), enquanto
é a densidade de fluxo que obedece
e inclui efeito de polarização do meio; em meios lineares
.
(c) radialmente para fora.
(d) radialmente para fora.
(b)
(c)
(d)