Exercício 9. A Lei de Gauss para o Campo Magnético e o conceito de fluxo.
Explique o que significa o fato de \nabla \cdot \mathbf{B}=0 na forma diferencial da Lei de Gauss para o Campo Magnético.

Passo 1

O enunciado pede para explicar o significado físico de
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
que é a forma diferencial da Lei de Gauss para o campo magnético. O conteúdo envolvido é a interpretação de divergência de campo vetorial, o teorema da divergência e o conceito de fluxo magnético em superfície fechada, além da noção de “fontes” e “sumidouros” de campo.

Passo 2

Começamos lembrando a forma integral da Lei de Gauss para o campo magnético: para qualquer volume V com fronteira fechada \partial V, o fluxo total de \mathbf{B} satisfaz
\oint_{\partial V} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} \;=\; 0.
Pelo Teorema da Divergência, esse fluxo também pode ser escrito como
\int_V (\nabla \cdot \mathbf{B})\,dV \;=\; 0.
Como isso vale para todo volume V arbitrário, concluímos que necessariamente
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
em cada ponto do espaço.

Passo 3

Interpretando a divergência de um campo, sabemos que \nabla\cdot\mathbf{B} mede a “taxa” com que linhas de campo saem de um ponto (fontes positivas) ou entram nele (sumidouros negativas). Portanto, \nabla\cdot\mathbf{B}=0 significa que não há pontos onde as linhas de campo magnético comecem ou terminem: não existem fontes nem sumidouros isolados de \mathbf{B}.

Passo 4

Em termos de fluxo, a condição \nabla\cdot\mathbf{B}=0 garante que, para qualquer superfície fechada, o fluxo de \mathbf{B} que entra é exatamente igual ao fluxo que sai. Consequentemente, as linhas de indução magnética são sempre laços fechados ou vão até o infinito, mas nunca “brotam” ou “se anulam” num ponto finito. Isso corresponde à ausência de monopólos magnéticos.

Resposta

O fato de \nabla \cdot \mathbf{B}=0 indica que não existem fontes nem sumidouros de campo magnético (sem monopólos), de modo que as linhas de \mathbf{B} formam sempre laços fechados e o fluxo magnético líquido através de qualquer superfície fechada é nulo.

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