Exercício 4. Uma linha de transmissão deve entregar 50 MW a 200 km de distância. A resistência total do condutor é de
. Compare as perdas se a transmissão for feita em (a) 69 kV e (b) 500 kV . Comente o resultado.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
O que o enunciado pede:
- Comparar as perdas de potência na linha quando a potência entregue é a mesma, mas a tensão de transmissão é (a)
e (b) . - Fazer um comentário sobre o resultado.
- Comparar as perdas de potência na linha quando a potência entregue é a mesma, mas a tensão de transmissão é (a)
-
Dados fornecidos:
- Potência ativa a ser entregue:
. - Comprimento da linha:
(informação dada; não será usada diretamente porque o enunciado já entregou a resistência total). - Resistência total do condutor (linha inteira):
. - Tensões de transmissão a comparar: (a)
e (b) .
- Potência ativa a ser entregue:
-
Observações importantes (dados que vou assumir sem perguntar):
- A potência
é a potência ativa entregue ao fim da linha e a transmissão é analisada considerando fator de potência unitário (ou seja, corrente associada a é ). - A resistência total
é a resistência útil para calcular perdas . - Não serão consideradas perdas de transformadores, perdas por corona, nem efeitos reativos; foco nas perdas ôhmicas
.
- A potência
Passo 2
Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicados passo a passo).
-
Corrente associada à potência transmitida:
- Se uma potência ativa
é entregue em uma tensão eficaz com fator de potência unitário, a corrente (valor eficaz) é
Explicação: potência ativa é produto da tensão eficaz pela corrente eficaz quando o ângulo de fase é zero (pf), logo , isolando dá a fórmula acima. Aqui tem unidades de watts ( ) e em volts ( ), de modo que sai em ampères ( ). - Se uma potência ativa
-
Perdas ôhmicas na linha:
- As perdas em uma resistência elétrica
percorrida por uma corrente eficaz valem
Explicação: energia dissipada por efeito Joule é proporcional ao quadrado da corrente e à resistência. - As perdas em uma resistência elétrica
-
Combinação das duas fórmulas:
- Substituindo
em obtemos uma expressão direta para as perdas em função de , e :
Interpretação: para potência e resistência fixas, as perdas variam como. Ou seja, dobrar a tensão reduz a corrente pela metade e as perdas por quatro (mesma potência transmitida). - Substituindo
Passo 3
Cálculo detalhado para o caso (a)
.
-
Primeiro a corrente:Efetuando a divisão:LogoExplicação: transformei os fatores de potência e volta para forma que dá milhares de ampères; arredondei para duas casas decimais para ficar legível.
-
Agora as perdas usando
: Uma forma mais exata e curta é usar a fórmula combinada:Reescrevendo por fatores:Note quee entãoEm unidades práticas: -
Percentual das perdas em relação aos
:
Passo 4
Cálculo detalhado para o caso (b)
.
-
Corrente:Explicação: aqui a divisão cai certinho em
. -
Perdas:
-
Percentual das perdas:
Passo 5
Interpretação e comentário sobre o resultado (didático e prático).
-
Resultado numérico resumido:
- Em
as perdas são aproximadamente (ou seja cerca de da potência enviada). - Em
as perdas são aproximadamente (ou seja cerca de da potência enviada).
- Em
-
Comentário físico e prático:
- As perdas ôhmicas dependem de
. Como , para a mesma potência aumentar a tensão reduz a corrente e as perdas caem como . É por isso que linhas de transmissão de longa distância usam tensões muito altas: reduzir muito as perdas. - No nosso exemplo a tensão
vezes maior (de para ) reduz a perda em cerca de vezes, consistente com a razão . - Observação prática: transmitir a
tem custos e desafios (isolamento maior, equipamentos e subestações mais caros, perdas por corona e efeitos eletromagnéticos), de modo que na engenharia existe um trade-off entre reduzir perdas e aumento de custo. Aqui, puramente em termos de perdas ôhmicas, transmitir a é muito vantajoso. - Limitações da análise: foi assumido fator de potência unitário, resistência efetiva dada por
já para toda a linha, e desprezadas perdas nos transformadores, efeitos reativos e outros fenômenos que em aplicações reais também importam.
- As perdas ôhmicas dependem de
Resposta
(a)
(aprox.
de
)
(b) (aprox.
de
)
(b)