Exercício 4. Uma linha de transmissão deve entregar 50 MW a 200 km de distância. A resistência total do condutor é de 8 \Omega. Compare as perdas se a transmissão for feita em (a) 69 kV e (b) 500 kV . Comente o resultado.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O que o enunciado pede:
    • Comparar as perdas de potência na linha quando a potência entregue é a mesma, mas a tensão de transmissão é (a) 69\\ \text{kV} e (b) 500\\ \text{kV}.
    • Fazer um comentário sobre o resultado.
  • Dados fornecidos:
    • Potência ativa a ser entregue: P=50\\ \text{MW}.
    • Comprimento da linha: 200\\ \text{km} (informação dada; não será usada diretamente porque o enunciado já entregou a resistência total).
    • Resistência total do condutor (linha inteira): R=8\\ \Omega.
    • Tensões de transmissão a comparar: (a) V_a=69\\ \text{kV} e (b) V_b=500\\ \text{kV}.
  • Observações importantes (dados que vou assumir sem perguntar):
    • A potência P é a potência ativa entregue ao fim da linha e a transmissão é analisada considerando fator de potência unitário (ou seja, corrente associada a P é I=P/V).
    • A resistência total R é a resistência útil para calcular perdas I^2R.
    • Não serão consideradas perdas de transformadores, perdas por corona, nem efeitos reativos; foco nas perdas ôhmicas I^2R.

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicados passo a passo).
  • Corrente associada à potência transmitida:
    • Se uma potência ativa \,P\, é entregue em uma tensão eficaz \,V\, com fator de potência unitário, a corrente (valor eficaz) é
    I=\dfrac{P}{V}.
    Explicação: potência ativa é produto da tensão eficaz pela corrente eficaz quando o ângulo de fase é zero (pf =1), logo P=V\cdot I, isolando I dá a fórmula acima. Aqui P tem unidades de watts ( \text{W}) e V em volts ( \text{V}), de modo que I sai em ampères ( \text{A}).
  • Perdas ôhmicas na linha:
    • As perdas em uma resistência elétrica R percorrida por uma corrente eficaz I valem
    P_{\text{loss}}=I^{2}R.
    Explicação: energia dissipada por efeito Joule é proporcional ao quadrado da corrente e à resistência.
  • Combinação das duas fórmulas:
    • Substituindo I=P/V em I^{2}R obtemos uma expressão direta para as perdas em função de P, R e V:
    P_{\text{loss}}=\left(\dfrac{P}{V}\right)^{2}R=\dfrac{P^{2}R}{V^{2}}.
    Interpretação: para potência e resistência fixas, as perdas variam como 1/V^{2}. Ou seja, dobrar a tensão reduz a corrente pela metade e as perdas por quatro (mesma potência transmitida).

Passo 3

Cálculo detalhado para o caso (a) V_a=69\\ \text{kV}.
  • Primeiro a corrente:
    I_a=\dfrac{P}{V_a}=\dfrac{50\times10^{6}}{69\times10^{3}}=\dfrac{50}{69}\times10^{3}.
    Efetuando a divisão:
    \dfrac{50}{69}\approx0{,}724637681\ldots
    Logo
    I_a\approx0{,}724637681\times10^{3}\\ \mathrm{A}\approx724{,}64\\ \mathrm{A}.
    Explicação: transformei os fatores de potência e volta para forma que dá milhares de ampères; arredondei para duas casas decimais para ficar legível.
  • Agora as perdas usando P_{\text{loss}}=I^{2}R:
    I_a^{2}\approx(724{,}64)^{2}\\ \mathrm{A}^{2}.
    Uma forma mais exata e curta é usar a fórmula combinada:
    P_{\text{loss},a}=\dfrac{P^{2}R}{V_a^{2}}=\dfrac{(50\times10^{6})^{2}\cdot 8}{(69\times10^{3})^{2}}.
    Reescrevendo por fatores:
    P_{\text{loss},a}=\dfrac{50^{2}}{69^{2}}\times10^{6}\times 8\\ \text{W}.
    Note que
    \dfrac{50^{2}}{69^{2}}=\left(\dfrac{50}{69}\right)^{2}\approx0{,}525\quad\text{(aprox.)}
    e então
    P_{\text{loss},a}\approx0{,}525\times10^{6}\times 8\\ \text{W}=4{,}2\times10^{6}\\ \text{W}.
    Em unidades práticas:
    P_{\text{loss},a}\approx4{,}2\\ \text{MW}.
  • Percentual das perdas em relação aos 50\\ \text{MW}:
    \text{Percentual}_a=\dfrac{P_{\text{loss},a}}{P}=\dfrac{4{,}2}{50}=0{,}084=8{,}4\%.

Passo 4

Cálculo detalhado para o caso (b) V_b=500\\ \text{kV}.
  • Corrente:
    I_b=\dfrac{P}{V_b}=\dfrac{50\times10^{6}}{500\times10^{3}}=\dfrac{50}{500}\times10^{3}=0{,}1\times10^{3}=100\\ \mathrm{A}.
    Explicação: aqui a divisão cai certinho em 100\\ \mathrm{A}.
  • Perdas:
    P_{\text{loss},b}=I_b^{2}R=(100)^{2}\times 8=10{,}000\times 8=80{,}000\\ \text{W}=0{,}08\times10^{6}\\ \text{W}=0{,}08\\ \text{MW}.
  • Percentual das perdas:
    \text{Percentual}_b=\dfrac{P_{\text{loss},b}}{P}=\dfrac{0{,}08}{50}=0{,}0016=0{,}16\%.

Passo 5

Interpretação e comentário sobre o resultado (didático e prático).
  • Resultado numérico resumido:
    • Em 69\\ \text{kV} as perdas são aproximadamente 4{,}2\\ \text{MW} (ou seja cerca de 8{,}4\% da potência enviada).
    • Em 500\\ \text{kV} as perdas são aproximadamente 0{,}08\\ \text{MW} (ou seja cerca de 0{,}16\% da potência enviada).
  • Comentário físico e prático:
    • As perdas ôhmicas dependem de I^{2}. Como I=P/V, para a mesma potência aumentar a tensão reduz a corrente e as perdas caem como 1/V^{2}. É por isso que linhas de transmissão de longa distância usam tensões muito altas: reduzir muito as perdas.
    • No nosso exemplo a tensão \approx 7{,}25 vezes maior (de 69\\ \text{kV} para 500\\ \text{kV}) reduz a perda em cerca de 4{,}2/0{,}08=52,5 vezes, consistente com a razão (500/69)^{2}.
    • Observação prática: transmitir a 500\\ \text{kV} tem custos e desafios (isolamento maior, equipamentos e subestações mais caros, perdas por corona e efeitos eletromagnéticos), de modo que na engenharia existe um trade-off entre reduzir perdas e aumento de custo. Aqui, puramente em termos de perdas ôhmicas, transmitir a 500\\ \text{kV} é muito vantajoso.
    • Limitações da análise: foi assumido fator de potência unitário, resistência efetiva dada por R=8\\ \Omega já para toda a linha, e desprezadas perdas nos transformadores, efeitos reativos e outros fenômenos que em aplicações reais também importam.

Resposta

(a) P_{\text{loss}}\approx4{,}2\\ \mathrm{MW} (aprox. 8{,}4\% de 50\\ \mathrm{MW})
(b) P_{\text{loss}}\approx0{,}08\\ \mathrm{MW} (aprox. 0{,}16\% de 50\\ \mathrm{MW})

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