Exercício 2. A carga elétrica em um certo dispositivo varia conforme q(t)=6 t^{2}-2 t (em coulombs, com t em segundos). Determine a expressão da corrente i(t) e calcule i(2 s).

Passo 1

O enunciado dá a variação da carga elétrica em função do tempo: q(t)=6 t^{2}-2 t (em coulombs), com t medido em segundos.
Pede-se:
  • determinar a expressão da corrente i(t);
  • calcular o valor da corrente em t=2\\ \text{s}.

Passo 2

Entender o que é corrente elétrica aqui. A corrente i(t) é a taxa instantânea de variação da carga com o tempo: é quanto de carga passa por um ponto por unidade de tempo naquele instante. Matematicamente isso é a derivada temporal da função carga. Em fórmulas:
i(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{q(t+\Delta t)-q(t)}{\Delta t}=\frac{dq}{dt}.
Unidades: carga em coulombs (\text{C}) dividida por tempo em segundos (\text{s}) dá ampere (\text{A}). Logo i(t) deve ser em amperes.

Passo 3

Vou explicar rapidamente as regras de derivação que vamos usar (passo-a-passo e sem pular):
  • Regra da linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constante pode sair da derivada. Ou seja, \dfrac{d}{dt}\big(a f(t)+b g(t)\big)=a \dfrac{d f}{dt}+b \dfrac{d g}{dt}.
  • Regra do poder (power rule): para uma função t^{n} com n número real, \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}.
Aplicando essas regras à função q(t)=6 t^{2}-2 t:
  • A derivada de 6 t^{2} é 6 vezes a derivada de t^{2}. Pela regra do poder, \dfrac{d}{dt}t^{2}=2 t. Assim \dfrac{d}{dt}(6 t^{2})=6\cdot 2 t=12 t.
  • A derivada de -2 t é -2 (porque \dfrac{d}{dt}t=1 e o fator -2 sai).
Portanto, somando:
i(t)=\frac{dq}{dt}=12 t-2.

Passo 4

Verificação de unidades e interpretação rápida: como q estava em coulombs e t em segundos, i(t)=12 t-2 está em amperes. Se i(t)>0 a carga aumenta com o tempo (fluxo de carga positivo); se i(t)<0 a carga diminui naquele instante.

Passo 5

Calcular i(2\\ \text{s}) substituindo t=2 na expressão encontrada:
i(2\\ \text{s})=12\cdot 2-2=24-2=22.
A unidade é ampere, então 22\\ \text{A}.

Resposta

i(t)=12 t-2\\ \text{(A)}
i(2\\ \text{s})=22\\ \text{A}

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