Exercício 1 - Lista 3
Os conceitos de moda, mediana, média e amplitude (diferença entre o maior termo e o menor termo) definem medidas utilizadas para estudar um conjunto de informações numéricas. Por exemplo, na lista de 5 números (
), temos que a moda é igual a 2, a mediana é igual a 4, a média é igual 6 e a amplitude é igual a 12. Determine quantidade de listas de 5 números inteiros positivos que cumprem a condição: moda
mediana
média
amplitude
.
Passo 1
Vamos entender qual é o desafio aqui! Precisamos encontrar quantas listas de 5 números inteiros positivos atendem às seguintes condições:
- Moda = 23,
- Mediana = 23,
- Média = 23,
- Amplitude = 23.
Para isso, vamos usar conceitos de estatística descritiva: moda, mediana, média e amplitude. Vamos resolver isso juntinhos, passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada termo significa:
- Moda: é o número que mais se repete na lista.
- Mediana: é o número do meio quando a lista está ordenada.
- Média: é a soma dos números dividida pela quantidade de números.
- Amplitude: é a diferença entre o maior e o menor número da lista.
Como temos uma lista de 5 números, a mediana será o terceiro número quando a lista estiver ordenada.
Passo 3
Vamos organizar a lista em ordem crescente:
, onde:
-
é a mediana = 23. - O maior número (
) menos o menor número ( ) dá a amplitude = 23, ou seja:
Passo 4
A média é 23, então a soma dos cinco números deve ser:
Como já sabemos que
e
, substituímos na equação:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos garantir que a moda seja 23. Isso significa que 23 deve aparecer pelo menos duas vezes na lista. Como
, temos duas possibilidades:
- 23 aparece exatamente duas vezes na lista.
- 23 aparece três, quatro ou cinco vezes na lista.
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 6
Caso 1: 23 aparece exatamente duas vezes
Nesse caso, uma das outras posições deve ser 23. Vamos pensar nas possíveis posições:
-
e -
e
Vamos analisar cada subcaso:
Subcaso 1.1:
e
A lista ficaria:
Substituindo na equação
:
Como
e
, temos:
E
.
Resolvendo para
:
Como
:
Como
é inteiro positivo:
Portanto,
pode ser de 1 a 11, e
.
Subcaso 1.2:
e
A lista ficaria:
Substituindo na equação
:
Como
, temos:
E
.
Como
:
Como
é inteiro positivo e
:
Portanto,
pode ser 12, 13, 14, ou 15.
Total do Caso 1: 11 (Subcaso 1.1) + 4 (Subcaso 1.2) = 15 listas
Passo 7
Caso 2: 23 aparece três vezes
Aqui, além de
, mais dois números são 23. As possíveis posições são:
-
e -
e (mas , se , então , não podendo ser 23) -
e (mas , logo , no entanto , similar ao acima)
Portanto, única possibilidade válida:
e
A lista ficaria:
Substituindo na equação
:
Como
deve ser inteiro positivo, não há soluções nesse caso.
Total do Caso 2: 0 listas
Passo 8
Caso 3: 23 aparece quatro vezes
Nesse caso, a lista seria:
Substituindo na equação
:
Como temos quatro 23s:
e
A soma seria:
Resolvendo:
Novamente,
deve ser inteiro positivo, então não há soluções.
Total do Caso 3: 0 listas
Passo 9
Caso 4: 23 aparece cinco vezes
A lista seria:
Vamos verificar as condições:
- Moda: 23 (correto),
- Mediana: 23 (correto),
- Média:
(correto), - Amplitude:
(não satisfaz).
Portanto, essa lista não atende a todas as condições.
Total do Caso 4: 0 listas
Resposta
Somando todos os casos válidos, temos 15 listas que atendem às condições de moda, mediana, média e amplitude igual a 23.