Exercício 1 - Lista 3

Os conceitos de moda, mediana, média e amplitude (diferença entre o maior termo e o menor termo) definem medidas utilizadas para estudar um conjunto de informações numéricas. Por exemplo, na lista de 5 números ( 2,2,4,8,14 ), temos que a moda é igual a 2, a mediana é igual a 4, a média é igual 6 e a amplitude é igual a 12. Determine quantidade de listas de 5 números inteiros positivos que cumprem a condição: moda = mediana = média = amplitude =23.

Passo 1

Vamos entender qual é o desafio aqui! Precisamos encontrar quantas listas de 5 números inteiros positivos atendem às seguintes condições:
  • Moda = 23,
  • Mediana = 23,
  • Média = 23,
  • Amplitude = 23.
Para isso, vamos usar conceitos de estatística descritiva: moda, mediana, média e amplitude. Vamos resolver isso juntinhos, passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada termo significa:
  • Moda: é o número que mais se repete na lista.
  • Mediana: é o número do meio quando a lista está ordenada.
  • Média: é a soma dos números dividida pela quantidade de números.
  • Amplitude: é a diferença entre o maior e o menor número da lista.
Como temos uma lista de 5 números, a mediana será o terceiro número quando a lista estiver ordenada.

Passo 3

Vamos organizar a lista em ordem crescente: a <= b <= c <= d <= e , onde:
  • c é a mediana = 23.
  • O maior número ( e ) menos o menor número ( a ) dá a amplitude = 23, ou seja:
e - a = 23 Rightarrow e = a + 23

Passo 4

A média é 23, então a soma dos cinco números deve ser:
a + b + c + d + e5 = 23 Rightarrow a + b + c + d + e = 115
Como já sabemos que c = 23 e e = a + 23 , substituímos na equação:
a + b + 23 + d + (a + 23) = 115 Rightarrow 2a + b + d + 46 = 115
Simplificando:
2a + b + d = 69

Passo 5

Agora, precisamos garantir que a moda seja 23. Isso significa que 23 deve aparecer pelo menos duas vezes na lista. Como c = 23 , temos duas possibilidades:
  1. 23 aparece exatamente duas vezes na lista.
  2. 23 aparece três, quatro ou cinco vezes na lista.
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 6

Caso 1: 23 aparece exatamente duas vezes
Nesse caso, uma das outras posições deve ser 23. Vamos pensar nas possíveis posições:
  • b = 23 e c = 23
  • c = 23 e d = 23
Vamos analisar cada subcaso:
Subcaso 1.1: b = 23 e c = 23
A lista ficaria: a <= 23 <= 23 <= d <= a + 23
Substituindo na equação 2a + b + d = 69 :
2a + 23 + d = 69 Rightarrow 2a + d = 46
Como d >= 23 e d <= a + 23 , temos:
23 <= d <= a + 23
E a <= 23 .
Resolvendo para a :
2a + d = 46 Rightarrow d = 46 - 2a
Como d >= 23 :
46 - 2a >= 23 Rightarrow 2a <= 23 Rightarrow a <= 11.5
Como a é inteiro positivo:
a <= 11
Portanto, a pode ser de 1 a 11, e d = 46 - 2a .
Subcaso 1.2: c = 23 e d = 23
A lista ficaria: a <= b <= 23 <= 23 <= a + 23
Substituindo na equação 2a + b + d = 69 :
2a + b + 23 = 69 Rightarrow 2a + b = 46
Como a <= b <= 23 , temos:
a <= b <= 23
E b = 46 - 2a .
Como b >= a :
46 - 2a >= a Rightarrow 46 >= 3a Rightarrow a <= 153
Como a é inteiro positivo e b <= 23 :
46 - 2a <= 23 Rightarrow 2a >= 23 Rightarrow a >= 11.5
Portanto, a pode ser 12, 13, 14, ou 15.
Total do Caso 1: 11 (Subcaso 1.1) + 4 (Subcaso 1.2) = 15 listas

Passo 7

Caso 2: 23 aparece três vezes
Aqui, além de c = 23 , mais dois números são 23. As possíveis posições são:
  • b = 23 e d = 23
  • b = 23 e e = 23 (mas e = a + 23 >= a +1 >= 2 , se a >=1 , então e = a +23 >=24 , não podendo ser 23)
  • a = 23 e d = 23 (mas a <= b <=23, logo a <=23 , no entanto e = a +23 >=24 , similar ao acima)
Portanto, única possibilidade válida: b = 23 e d = 23
A lista ficaria: a <= 23 <= 23 <= 23 <= a +23
Substituindo na equação 2a + b + d = 69 :
2a + 23 + 23 = 69 Rightarrow 2a = 23 Rightarrow a = 11.5
Como a deve ser inteiro positivo, não há soluções nesse caso.
Total do Caso 2: 0 listas

Passo 8

Caso 3: 23 aparece quatro vezes
Nesse caso, a lista seria: a <= 23 <= 23 <= 23 <= a +23
Substituindo na equação 2a + b + d = 69 :
Como temos quatro 23s: a e e = a +23
A soma seria:
a + 23 + 23 + 23 + (a + 23) = 2a + 92 = 115
Resolvendo:
2a + 92 = 115 Rightarrow 2a = 23 Rightarrow a = 11.5
Novamente, a deve ser inteiro positivo, então não há soluções.
Total do Caso 3: 0 listas

Passo 9

Caso 4: 23 aparece cinco vezes
A lista seria: 23, 23, 23, 23, 23
Vamos verificar as condições:
  • Moda: 23 (correto),
  • Mediana: 23 (correto),
  • Média: 5 times 235 = 23 (correto),
  • Amplitude: 23 - 23 = 0 neq 23 (não satisfaz).
Portanto, essa lista não atende a todas as condições.
Total do Caso 4: 0 listas

Resposta

Somando todos os casos válidos, temos 15 listas que atendem às condições de moda, mediana, média e amplitude igual a 23.

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